matlab 計(jì)算方法 實(shí)驗(yàn)指導(dǎo) 誤差分析

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1、實(shí)驗(yàn)一誤差分析實(shí)驗(yàn)1（病態(tài)問(wèn)題）實(shí)驗(yàn)?zāi)康模核惴ㄓ小皟?yōu)”與“劣”之分，問(wèn)題也有“好”與“壞”之別。對(duì)數(shù)值方法的研究而言，所謂壞問(wèn)題就是問(wèn)題本身對(duì)擾動(dòng)敏感者，反之屬于好問(wèn)題。通過(guò)本實(shí)驗(yàn)可獲得一個(gè)初步體會(huì)。數(shù)值分析的大部分研究課題中，如線性代數(shù)方程組、矩陣特征值問(wèn)題、非線性方程及方程組等都存在病態(tài)的問(wèn)題。病態(tài)問(wèn)題要通過(guò)研究和構(gòu)造特殊的算法來(lái)解決，當(dāng)然一般要付出一些代價(jià)（如耗用更多的機(jī)器時(shí)間、占用更多的存儲(chǔ)空間等）。問(wèn)題提出：考慮一個(gè)高次的代數(shù)多項(xiàng)式顯然該多項(xiàng)式的全部根為1,2,…,20共計(jì)20個(gè)，且每個(gè)根都是單重的?，F(xiàn)考慮該多項(xiàng)式的一個(gè)擾動(dòng)其中是一個(gè)非常小的數(shù)。這

2、相當(dāng)于是對(duì)（1.1）中的系數(shù)作一個(gè)小的擾動(dòng)。我們希望比較（1.1）和（1.2）根的差別，從而分析方程（1.1）的解對(duì)擾動(dòng)的敏感性。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：為了實(shí)現(xiàn)方便，我們先介紹兩個(gè)MATLAB函數(shù)：“roots”和“poly”。其中若變量a存儲(chǔ)n+1維的向量，則該函數(shù)的輸出u為一個(gè)n維的向量。設(shè)a的元素依次為，則輸出u的各分量是多項(xiàng)式方程的全部根；而函數(shù)的輸出b是一個(gè)n+1維向量，它是以n維向量v的各分量為根的多項(xiàng)式的系數(shù)。可見(jiàn)“roots”和“poly”是兩個(gè)互逆的運(yùn)算函數(shù)。上述簡(jiǎn)單的MATLAB程序便得到（1.2）的全部根，程序中的“ess”即是（1.2）中的。實(shí)驗(yàn)

3、要求：（1）選擇充分小的ess，反復(fù)進(jìn)行上述實(shí)驗(yàn)，記錄結(jié)果的變化并分析它們。如果擾動(dòng)項(xiàng)的系數(shù)很小，我們自然感覺(jué)（1.1）和（1.2）的解應(yīng)當(dāng)相差很小。計(jì)算中你有什么出乎意料的發(fā)現(xiàn)？表明有些解關(guān)于如此的擾動(dòng)敏感性如何？（2）將方程（1.2）中的擾動(dòng)項(xiàng)改成或其它形式，實(shí)驗(yàn)中又有怎樣的現(xiàn)象出現(xiàn)？（3）（選作部分）請(qǐng)從理論上分析產(chǎn)生這一問(wèn)題的根源。注意我們可以將方程（1.2）寫(xiě)成展開(kāi)的形式，同時(shí)將方程的解x看成是系數(shù)的函數(shù)，考察方程的某個(gè)解關(guān)于的擾動(dòng)是否敏感，與研究它關(guān)于的導(dǎo)數(shù)的大小有何關(guān)系？為什么？你發(fā)現(xiàn)了什么現(xiàn)象，哪些根關(guān)于的變化更敏感？思考題一：（上述實(shí)驗(yàn)的改

4、進(jìn)）在上述實(shí)驗(yàn)中我們會(huì)發(fā)現(xiàn)用roots函數(shù)求解多項(xiàng)式方程的精度不高，為此你可以考慮用符號(hào)函數(shù)solve來(lái)提高解的精確度，這需要用到將多項(xiàng)式轉(zhuǎn)換為符號(hào)多項(xiàng)式的函數(shù)poly2sym,函數(shù)的具體使用方法可參考MATLAB的幫助。思考題二：（二進(jìn)制產(chǎn)生的誤差）用MATLAB計(jì)算。結(jié)果居然有誤差！因?yàn)閺氖M(jìn)制數(shù)角度分析，這一計(jì)算應(yīng)該是準(zhǔn)確的。實(shí)驗(yàn)反映了計(jì)算機(jī)內(nèi)部的二進(jìn)制本質(zhì)。思考題三：（一個(gè)簡(jiǎn)單公式中產(chǎn)生巨大舍入誤差的例子）可以用下列式子計(jì)算自然對(duì)數(shù)的底數(shù)這個(gè)極限表明隨著n的增加，計(jì)算e值的精度是不確定的?，F(xiàn)編程計(jì)算與exp(1)值的差。n大到什么程度的時(shí)候誤差最大？

5、你能解釋其中的原因嗎？相關(guān)MATLAB函數(shù)提示：poly(a)求給定的根向量a生成其對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式系數(shù)（降序）向量roots(p)求解以向量p為系數(shù)的多項(xiàng)式（降序）的所有根poly2sym(p)將多項(xiàng)式向量p表示成為符號(hào)多項(xiàng)式（降序）sym(arg)將數(shù)字、字符串或表達(dá)式arg轉(zhuǎn)換為符號(hào)對(duì)象symsarg1arg2argk將字符arg1,arg2,argk定義為基本符號(hào)對(duì)象solve('eq1')求符號(hào)多項(xiàng)式方程eq1的符號(hào)解實(shí)驗(yàn)二非線性方程求根實(shí)驗(yàn)2（迭代法、初始值與收斂性）實(shí)驗(yàn)?zāi)康模撼醪秸J(rèn)識(shí)非線性問(wèn)題的迭代法與線性問(wèn)題迭代法的差別，探討迭代法及初始值與迭代

6、收斂性的關(guān)系。問(wèn)題提出：迭代法是求解非線性方程的基本思想方法，與線性方程的情況一樣，其構(gòu)造方法可以有多種多樣，但關(guān)鍵是怎樣才能使迭代收斂且有較快的收斂速度。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的代數(shù)方程針對(duì)上述方程，可以構(gòu)造多種迭代法，如在實(shí)軸上取初始值x0，請(qǐng)分別用迭代（7.1）-（7.3）作實(shí)驗(yàn)，記錄各算法的迭代過(guò)程。實(shí)驗(yàn)要求：（1）取定某個(gè)初始值，分別計(jì)算（7.1）-（7.3）迭代結(jié)果，它們的收斂性如何？重復(fù)選取不同的初始值，反復(fù)實(shí)驗(yàn)。請(qǐng)自選設(shè)計(jì)一種比較形象的記錄方式（如利用MATLAB的圖形功能），分析三種迭代法的收斂性與初值選取的關(guān)系。（2）對(duì)三個(gè)迭代法中的某個(gè)

7、，取不同的初始值進(jìn)行迭代，結(jié)果如何？試分析迭代法對(duì)不同的初值是否有差異？（3）線性方程組迭代法的收斂性是不依賴(lài)初始值選取的。比較線性與非線性問(wèn)題迭代的差異，有何結(jié)論和問(wèn)題。思考題一：用Newton法求方程在區(qū)間[-3,3]上誤差不大于的根，分別取初值進(jìn)行計(jì)算，比較它們的迭代次數(shù)。相關(guān)MATLAB函數(shù)提示：x=fzero(fun,x0)返回一元函數(shù)fun的一個(gè)零點(diǎn)，其中fun為函數(shù)句柄，x0為標(biāo)量時(shí)，返回在x0附近的零點(diǎn)；x0為向量[a,b]時(shí)，返回函數(shù)在[a,b]中的零點(diǎn)[x,f,h]=fsolve(fun,x0)返回一元或多元函數(shù)x0附近fun的一個(gè)零點(diǎn)，

8、其中fun為函數(shù)句柄，x0為迭代初值；f返回fun在