用平面的法向量解高考立體幾何試題

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1、用平面的法向量解高考立體幾何試題蔣朱海平面的法向量在課本上有定義，考試大綱中有“理解”要求，但在課本和多數(shù)的教輔材料中都沒(méi)有提及它的應(yīng)用，其實(shí)平面的法向量是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一顆明珠，是解立體幾何題的銳利武器，開(kāi)發(fā)平面法向量的解題功能，可以解決不少立體幾何中有關(guān)角和距離的難題，也能順利解決2005年全國(guó)高考試卷中的立體幾何試題。一、平面法向量的概念和求法向量與平面垂直如果表示向量a的有向線段所在的直線垂直于平面，則稱這個(gè)向量垂直于平面，記作a。平面的法向量如果a，那么向量a叫做平面的法向量。一般根據(jù)平面法向量的定義推導(dǎo)出平面的法向量，進(jìn)而就可以利

2、用平面的法向量解決相關(guān)立體幾何問(wèn)題。推導(dǎo)平面法向量的方法如下：在給定的空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)平面的法向量[或，或]，在平面內(nèi)任找兩個(gè)不共線的向量。由，得且，由此得到關(guān)于的方程組，解此方程組即可得到。有時(shí)為了需要，也求法ABCDxyA1B1C1D1z圖1向量上的單位法向量，則。例1在棱長(zhǎng)為1的正方體中，求平面的法向量和單位法向量。解：建立空間直角坐標(biāo)系，如圖1，則，。設(shè)平面的法向量。得，。又面，得，。有，得。，。二、平面法向量的三個(gè)引理為了能方便地運(yùn)用平面法向量解題，特介紹平面法向量的三個(gè)引理，以此為工具，可以順利地解決立體幾何問(wèn)題。引理1設(shè)向

3、量是平面的單位法向量，點(diǎn)B是平面外一定點(diǎn)，點(diǎn)A是內(nèi)任意一點(diǎn)，則點(diǎn)B到平面的距離。ABOn圖2證明：如圖2，過(guò)B作BO垂直平面于O，在平面上任取一點(diǎn)A，則為與的夾角，設(shè)為。在中，，得。例2在例1中，求點(diǎn)到平面的距離。解析：由例1的解答知，平面的單位法向量，又，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則。所以，點(diǎn)到平面的距離為。說(shuō)明：利用引理1求點(diǎn)到平面的距離比用傳統(tǒng)的幾何方法求距離簡(jiǎn)單得多，它省去了作圖、證明等推理論證，直接通過(guò)向量運(yùn)算得到正確的結(jié)果。引理2設(shè)AB是平面的斜線，BO是平面的垂線，AB與平面所成的角,向量與的夾角（見(jiàn)圖2），則。（證略）例3在例1中

4、，求直線與平面所成的角。圖3解析：由例1知，，，，即。引理3如圖3，設(shè)向量與分別是二面角中的兩個(gè)半平面，的法向量，則向量與的夾角的大小就是所求二面角或其補(bǔ)角的大小。（證略）例4在例1中，求二面角的大小。解：由例1知，平面的法向量是，平面的法向量是，設(shè)二面角的大小為，則，得。說(shuō)明：由于法向量的多樣性，二面角的兩個(gè)半平面的法向量與的夾角可能等于所求二面角的平面角，如本例；也可能等于二面角的平面角的補(bǔ)角，如若，則，于是。如何來(lái)確定兩法向量的夾角是二面角的平面角還是其補(bǔ)角呢？一靠經(jīng)驗(yàn)：通過(guò)題目估計(jì)它是鈍角還是銳角，同類相等，異類互補(bǔ)；二用半平面旋轉(zhuǎn)

5、法：把二面角的一個(gè)半平面繞棱按照同一個(gè)方向旋轉(zhuǎn)到與另一個(gè)半平面重合時(shí)，若兩個(gè)半平面的法向量的方向相同，則相等，若方向相反，則互補(bǔ)。三、利用法向量解2005年高考立體幾何試題ABCDEA1B1C1D1xyz圖4例5（05江西理）如圖4，在長(zhǎng)方體中，AD==1，AB=2，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)。（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E到面的距離；（Ⅲ）AE等于何值時(shí)，二面角的大小為。分析本題是立體幾何試題的常見(jiàn)題型，考查的是傳統(tǒng)內(nèi)容。證線線垂直，求點(diǎn)到平面的距離，求二面角的大小，可用傳統(tǒng)的幾何方法求解，也可利用向量法求解。下面給出向量法求解。

6、解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，。（Ⅰ）證明：由，，，有，于是。（Ⅱ）E是AB的中點(diǎn)，得。，，。設(shè)平面的法向量為，單位法向量為，由，解得。于是，有。設(shè)點(diǎn)E到平面的距離為，則。所以點(diǎn)E到平面的距離為。（Ⅲ）平面的法向量，設(shè)平面的法向量。又，。由，得，解得，于是。設(shè)所求的二面角為，則。有，得。解得，所以，當(dāng)AE=時(shí)，二面角的大小為。例6ABCDEFxyzP圖5（05全國(guó)卷Ⅱ）如圖5，四棱錐中，底面ABCD為矩形，底面ABCD，AD=PD，E，F(xiàn)分別CD、PB的中點(diǎn)。（Ⅰ）求證：EF平面PAB；（Ⅱ）設(shè)AB=BC，求AC與平面AE

7、F所成角的大小。分析：本題考查的是立體幾何的重點(diǎn)內(nèi)容：直線與平面垂直和直線與平面所成的角，考查空間想像能力和推理論證能力，本題也是一題兩法。（Ⅰ）證明：建立空間直角坐標(biāo)系（如圖5），設(shè)AD=PD=1，AB=（），則E(a,0,0),C(2a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1),.得，，。由，得，即，同理，又，所以，EF平面PAB。（Ⅱ）解：由，得，即。得，，。有，，。設(shè)平面AEF的法向量為，由，解得。于是。設(shè)AC與面AEF所成的角為，與的夾角為。則。得。所以，AC與平面AEF所成角的大小為。說(shuō)明：用傳統(tǒng)的幾何方

8、法，在限定的時(shí)間內(nèi)，很難找到AC與平面AEF所成的角。而利用平面的法向量解題，可順利地避開(kāi)這一切麻煩，只要找到平面的法向量，利用向量間的代數(shù)運(yùn)算，可方便簡(jiǎn)捷地解決此題。ABCDM