monte carlo 算法

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1、第八章MonteCarlo法§8.1概述MonteCarlo法不同于前面幾章所介紹的確定性數(shù)值方法，它是用來(lái)解決數(shù)學(xué)和物理問(wèn)題的非確定性的（概率統(tǒng)計(jì)的或隨機(jī)的）數(shù)值方法。MonteCarlo方法（MCM），也稱為統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)方法，是理論物理學(xué)兩大主要學(xué)科的合并：即隨機(jī)過(guò)程的概率統(tǒng)計(jì)理論（用于處理布朗運(yùn)動(dòng)或隨機(jī)游動(dòng)實(shí)驗(yàn)）和位勢(shì)理論，主要是研究均勻介質(zhì)的穩(wěn)定狀態(tài)[1].R.HerschandR.J.Griego,“Brownianmotionandpotentialtheory,”Sci.Amer.,Mar.1969,pp.67-74.。它是用一系列隨機(jī)數(shù)來(lái)近

2、似解決問(wèn)題的一種方法，是通過(guò)尋找一個(gè)概率統(tǒng)計(jì)的相似體并用實(shí)驗(yàn)取樣過(guò)程來(lái)獲得該相似體的近似解的處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種手段。運(yùn)用該近似方法所獲得的問(wèn)題的解inspirit更接近于物理實(shí)驗(yàn)結(jié)果，而不是經(jīng)典數(shù)值計(jì)算結(jié)果。普遍認(rèn)為我們當(dāng)前所應(yīng)用的MC技術(shù)，其發(fā)展約可追溯至1944年，盡管在早些時(shí)候仍有許多未解決的實(shí)例。MCM的發(fā)展歸功于核武器早期工作期間LosAlamos（美國(guó)國(guó)家實(shí)驗(yàn)室中子散射研究中心）的一批科學(xué)家。LosAlamos小組的基礎(chǔ)工作刺激了一次巨大的學(xué)科文化的迸發(fā)，并鼓勵(lì)了MCM在各種問(wèn)題中的應(yīng)用?！癕onteCarlo”的名稱取自于Monaco（摩

3、納哥）內(nèi)以賭博娛樂(lè)而聞名的一座城市。MonteCarlo方法的應(yīng)用有兩種途徑：仿真和取樣。仿真是指提供實(shí)際隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)上的模仿的方法。一個(gè)典型的例子就是對(duì)中子進(jìn)入反應(yīng)堆屏障的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行仿真，用隨機(jī)游動(dòng)來(lái)模仿中子的鋸齒形路徑。取樣是指通過(guò)研究少量的隨機(jī)的子集來(lái)演繹大量元素的特性的方法。例如，在上的平均值可以通過(guò)間歇性隨機(jī)選取的有限個(gè)數(shù)的點(diǎn)的平均值來(lái)進(jìn)行估計(jì)。這就是數(shù)值積分的MonteCarlo方法。MCM已被成功地用于求解微分方程和積分方程，求解本征值，矩陣轉(zhuǎn)置，以及尤其用于計(jì)算多重積分。任何本質(zhì)上屬隨機(jī)組員的過(guò)程或系統(tǒng)的仿真都需要一種產(chǎn)生或獲得隨機(jī)數(shù)的

4、方法。這種仿真的例子在中子隨機(jī)碰撞，數(shù)值統(tǒng)計(jì)，隊(duì)列模型，戰(zhàn)略游戲，以及其它競(jìng)賽活動(dòng)中都會(huì)出現(xiàn)。MonteCarlo計(jì)算方法需要有可得的、服從特定概率分布的、隨機(jī)選取的數(shù)值序列?！?.2隨機(jī)數(shù)和隨機(jī)變量的產(chǎn)生[5]－[10]全面的論述了產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的各類方法。其中較為普遍應(yīng)用的產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方法是選取一個(gè)函數(shù)，使其將整數(shù)變換為隨機(jī)數(shù)。以某種方法選取，并按照產(chǎn)生下一個(gè)隨機(jī)數(shù)。最一般的方程具有如下形式：（8.1）其中初始值或種子（）乘法器（）增值（）17模數(shù)對(duì)于數(shù)位的二進(jìn)制整數(shù)，其模數(shù)通常為。例如，對(duì)于31位的計(jì)算機(jī)即可取。這里和都是整數(shù)，且具有相同的取值范圍。

5、所需的隨機(jī)數(shù)序便可由下式得（8.2）該序列稱為線性同余序列。例如，若且，則該序列為7，6，9，0，7，6，9，0……（8.3）可以證明，同余序列總會(huì)進(jìn)入一個(gè)循環(huán)套；也就是說(shuō)，最終總會(huì)出現(xiàn)一個(gè)無(wú)休止重復(fù)的數(shù)字的循環(huán)。（8.3）式中序列周期長(zhǎng)度為4。當(dāng)然，一個(gè)有用的序列必是具有相對(duì)較長(zhǎng)周期的序列。許多作者都用術(shù)語(yǔ)乘同余法和混合同余法分別指代和時(shí)的線性同余法。選取和的法則可參見(jiàn)[6,10]。這里我們只關(guān)心在區(qū)間內(nèi)服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生。用字符來(lái)表示這些數(shù)字，則由式（8.2）可得（8.4）這樣僅在數(shù)組中取值。（對(duì)于區(qū)間（0,1）內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，一種快速檢測(cè)其隨

6、機(jī)性的方法是看其均值是否為0.5。其它檢測(cè)方法可參見(jiàn)[3,6]。）產(chǎn)生區(qū)間內(nèi)均勻分布的隨機(jī)數(shù)，可用下式（8.5）用計(jì)算機(jī)編碼產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)（利用式（8.2）和（8.4））并不是完全隨機(jī)的；事實(shí)上，給定序列種子，序列的所有數(shù)字都是完全可預(yù)測(cè)的。一些作者為強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)，將這種計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的序列稱為偽隨機(jī)數(shù)。但如果適當(dāng)選取和，序列的隨機(jī)性便足以通過(guò)一系列的統(tǒng)計(jì)檢測(cè)。它們相對(duì)于真隨機(jī)數(shù)具有可快速產(chǎn)生、需要時(shí)可再生的優(yōu)點(diǎn)，尤其對(duì)于程序調(diào)試。MonteCarlo程序中通常需要產(chǎn)生服從給定概率分布的隨機(jī)變量。該步可用[6]，[13]－[15]中的幾種方法加以實(shí)現(xiàn)，其中包括

7、直接法和舍去法。直接法（也稱反演法或變換法），需要轉(zhuǎn)換與隨機(jī)變量17相關(guān)的累積概率函數(shù)（即：為的概率）。顯然表明，通過(guò)產(chǎn)生(0,1)內(nèi)均勻分布隨機(jī)數(shù)，經(jīng)轉(zhuǎn)換我們可得服從分布的隨機(jī)樣本。為了得到這樣的具有概率分布的隨機(jī)數(shù)，不妨設(shè)，即可得（8.6）其中具有分布函數(shù)。例如，若是均值為呈指數(shù)分布的隨機(jī)變量，且（8.7）在中解出可得（8.8）由于本身就是區(qū)間(0,1)內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，故可簡(jiǎn)寫(xiě)為（8.9）有時(shí)(8.6)式所需的反函數(shù)不存在或很難獲得。這種情況可用舍去法來(lái)處理。令為隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)。令時(shí)的，且上界為（即：），如圖8.1所示。我們產(chǎn)生區(qū)間(0,1)內(nèi)

8、的兩個(gè)隨機(jī)數(shù)，則（8.10）分別為在(a,b)和(0,M)內(nèi)均勻分布的隨機(jī)數(shù)。若（8.11）則