一輪復(fù)習(xí)配套義：第2篇第9講函數(shù)模型及其應(yīng)用

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1、第9講　函數(shù)模型及其應(yīng)用[最新考綱]1．了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長特征，結(jié)合具體實例體會直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義．2．了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用.知識梳理1．函數(shù)模型及其性質(zhì)比較(1)幾種常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)與指數(shù)函數(shù)相關(guān)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a＞0且a≠1，b≠

2、0)與對數(shù)函數(shù)相關(guān)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a＞0且a≠1，b≠0)與冪函數(shù)相關(guān)模型f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數(shù)，a≠0，n≠0)(2)三種函數(shù)模型性質(zhì)比較函數(shù)性質(zhì)　　y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的單調(diào)性單調(diào)增函數(shù)單調(diào)增函數(shù)單調(diào)增函數(shù)增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)2.“f(x)＝x＋”型函數(shù)模型形如f(x)＝x＋(a＞0)的函數(shù)模型稱為“對勾”函數(shù)模型，在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應(yīng)用，常利用基本不等式、導(dǎo)數(shù)、函數(shù)單調(diào)性求解最值.學(xué)生用書第3

3、3頁辨析感悟1．關(guān)于函數(shù)模型增長特點(diǎn)的理解(1)函數(shù)y＝2x的函數(shù)值比y＝x2的函數(shù)值大．(×)(2)“指數(shù)爆炸”是指數(shù)型函數(shù)y＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)增長速度越來越快的形象比喻．(×)(3)冪函數(shù)增長比直線增長更快．(×)2．常見函數(shù)模型的應(yīng)用問題(4)(2013·長春模擬改編)一個體積為V的棱錐被平行于底面的平面所截，設(shè)截面上部的小棱錐的體積為y，截面下部的幾何體的體積為x，則y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象可以表示為.(√)(5)(2014·濟(jì)寧模擬改編)某產(chǎn)品的總成本y(萬元)與產(chǎn)量x(臺)之間的函數(shù)關(guān)系式

4、是y＝3000＋20x－0.1x2，x∈(0,240)，若每臺產(chǎn)品的售價為25萬元，則生產(chǎn)者不虧本時(銷售收入不小于總成本)的最低產(chǎn)量是150臺．(√)[感悟·提升]一個區(qū)別　三種增長型的函數(shù)盡管均為增函數(shù)，但它們的增長速度不同，且不在同一個檔次上，因此在(0，＋∞)上，總會存在一個x0，使x＞x0時，有ax＞xn＞logax(a＞1，n＞0)．如(1)中當(dāng)2＜x＜4時，2x＜x2；如(2)中沒強(qiáng)調(diào)b＞1；如(3)，舉例y＝與y＝x，當(dāng)x＞1時，y＝比y＝x增長慢.考點(diǎn)一　利用圖象刻畫實際問題【例1】(2013·湖北卷，

5、文)小明騎車上學(xué)，開始時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間后，為了趕時間加快速度行駛．與以上事件吻合得最好的圖象是(　　)．解析　小明勻速運(yùn)動時，所得圖象為一條直線段，且距離學(xué)校越來越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段時間，與學(xué)校的距離不變，故排除D.后來為了趕時間加快速度行駛，故排除B.故選C.答案　C規(guī)律方法抓住兩個變量間的變化規(guī)律(如增長的快慢、最大、最小等)與函數(shù)的性質(zhì)(如單調(diào)性、最值等)、圖象(增加、減少的緩急等)相吻合即可．【訓(xùn)練1】如圖下面的四個容器高度都相同，將水從容器頂部一個孔中以相同的速度注入其中

6、，注滿為止．用下面對應(yīng)的圖象表示該容器中水面的高度h和時間t之間的關(guān)系，其中不正確的有(　　)．A．1個B．2個C．3個D．4個解析　將水從容器頂部一個孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和時間t之間的關(guān)系可以從高度隨時間的變化率上反映出來，圖①應(yīng)該是勻速的，故上面的圖象不正確，②中的變化率應(yīng)該是越來越慢的，正確；③中的變化率逐漸變慢，然后逐漸變快，正確；④中的變化率逐漸變快，然后逐漸變慢，也正確，故只有①是錯誤的．選A.答案　A考點(diǎn)二　二次函數(shù)模型【例2】(2014·德州一模)某家庭進(jìn)行理財投資，根據(jù)長期收益率

7、市場預(yù)測，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比，投資股票等風(fēng)險型產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成正比．已知投資1萬元時兩類產(chǎn)品的收益分別為0.125萬元和0.5萬元．(1)分別寫出兩類產(chǎn)品的收益與投資的函數(shù)關(guān)系；(2)該家庭有20萬元資金，全部用于理財投資，問：怎么分配資金能使投資獲得最大收益，其最大收益是多少萬元？解　(1)設(shè)兩類產(chǎn)品的收益與投資的函數(shù)分別為f(x)＝k1x，g(x)＝k2.由已知得f(1)＝＝k1，g(1)＝＝k2，所以f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)．(2)設(shè)投資債券類產(chǎn)品為x萬元，

8、則投資股票類產(chǎn)品為(20－x)萬元．依題意得y＝f(x)＋g(20－x)＝＋(0≤x≤20)．令t＝(0≤t≤2)，則y＝＋t＝－(t－2)2＋3，所以當(dāng)t＝2，即x＝16時，收益最大，ymax＝3萬元.學(xué)生用書第34頁規(guī)律方法二次函數(shù)模型的應(yīng)用比較廣泛，解題時，根據(jù)實際問題建立二次函數(shù)解析式后，可以利用配方法、判