考研——線性代數(shù)

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1、線性代數(shù)(東北大學(xué)—李美林)第一章行列式定義1行列式中aij稱為行列式的元素或元。元素aij第一個(gè)下標(biāo)i稱為行標(biāo)，表明該元素位于第i行；第二個(gè)下標(biāo)j稱為列標(biāo)，表明該元素位于第j列。位于第i行第j列的元素稱為行列式的(i，j)元。定義2把n個(gè)不同的元素排成一列，叫做這n個(gè)元素的全排列(也簡稱排列)。定義3對于n個(gè)不同的元素，先規(guī)定各元素之間有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)次序(例如n個(gè)不同的自然數(shù)，可規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序)，于是在這n個(gè)元素的任一排列中，當(dāng)某兩個(gè)元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時(shí)，就說有一個(gè)逆序。一個(gè)排列中所

2、有逆序的總和叫做這個(gè)排列的逆序數(shù)，逆序數(shù)為奇數(shù)的排列叫做奇排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列叫做偶排列。定理1一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對換，排列改變奇偶性。推論奇排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為偶數(shù)。定理2n階行列式可定義為(t為排列p1p2…pn的逆序數(shù))。行列式的性質(zhì)：1.行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等；2.互換行列式的兩行(列)，行列式變號；推論如果行列式的兩行(列)完全相同，則此行列式等于零；3.行列式的某一行(列)中的所有元素都乘以同一數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式；推論行列

3、式的某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式記號的外面；4.行列式中如果兩行(列)元素成比例，則此行列式等于零；5.若行列式的某一行(列)的元素都是兩數(shù)之和，則此行列式等于兩個(gè)分行列式之和；6.把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一行(列)對應(yīng)的元素上去，行列式不變。定義4在n階行列式中，把(i，j)元aij所在的第i行和第j列劃去后，留下來的n－1階行列式叫做(i，j)元aij的余子式，記作Mij；記Aij=(-1)i+jMij，Aij叫做(i，j)元aij的代數(shù)余子式。定理3行

4、列式等于它的任一行(列)的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即(i，j=1，2，…，n)，這個(gè)定理叫做行列式按行(列)展開法則。推論行列式某一行(列)的元素與另一行(列)的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和為零，即?？死▌t如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，那么方程組有惟一解。定理4如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，則該方程組一定有解，且解是惟一的。推論如果線性方程組無解或有兩個(gè)不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零。定理5如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，則齊次線性方程組沒有非零解。推論如果齊次

5、線性方程組有非零解，則齊次線性方程組的系數(shù)行列式必為零。16線性代數(shù)(東北大學(xué)—李美林)第二章矩陣定義1由mn個(gè)數(shù)aij(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n)排成的m行n列的數(shù)表稱為m行n列矩陣，簡稱mn矩陣。為表示它是一個(gè)整體，總是加括弧，并用大寫黑體字母表示，即。這mn個(gè)數(shù)稱為矩陣Α的元素，簡稱為元，數(shù)aij位于矩陣Α的第i行第j列，稱為矩陣Α的(i，j)元。以數(shù)aij為(i，j)元的矩陣可簡記作(aij)或(aij)m×n。mn矩陣Α也記作Αm×n。元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣，元素

6、是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣。定義2只有一行的矩陣稱為行矩陣，又稱行向量；只有一列的矩陣稱為列矩陣，又稱列向量。兩個(gè)向量的行數(shù)相等列數(shù)也相等時(shí)，就稱它們是同型矩陣。定義3元素都是零的矩陣稱為零矩陣，記作O，不同型的零矩陣是不同的；從矩陣左上角到右下角的直線(叫做主對角線)上的元素都是1，其他元素都是0的矩陣叫做單位矩陣，簡稱單位陣，記作E；不在對角線上的元素都是0的矩陣叫做對角矩陣，簡稱對角陣，記作，=diag(λ1，λ2，…，λn)。定義4設(shè)有兩個(gè)mn矩陣Α=(aij)和B=(bij)，那么矩陣Α與B的

7、和記作Α+B，規(guī)定為。(應(yīng)該注意，只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，這兩個(gè)矩陣才能進(jìn)行加法運(yùn)算)矩陣加法滿足下列運(yùn)算規(guī)律(設(shè)Α，B，C都是mn矩陣)：1.Α+B=B+??；2.(Α+B)+C=Α+(B+C)；3.?。瑽=Α+(－B)。定義5數(shù)λ與矩陣Α的乘積λΑ或Αλ，規(guī)定為。數(shù)乘矩陣滿足下列運(yùn)算規(guī)律(設(shè)Α，B為mn矩陣，λ，μ為數(shù))：1.(λμ)Α=λ(μΑ)；2.(λ+μ)Α=λΑ+μ?。?.λ(Α+B)=λΑ+λB。16線性代數(shù)(東北大學(xué)—李美林)定義6設(shè)Α=(aij)是一個(gè)ms矩陣，B=(bij)是

8、一個(gè)sn，那么規(guī)定矩陣Α與矩陣B的乘積是一個(gè)mn矩陣C=(cij)，其中(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n)，并把此乘積記作C=ΑB。矩陣的乘法滿足下列運(yùn)算規(guī)律(假設(shè)運(yùn)算都是可行的)：1.ΑBC=Α(BC)；2.λΑB=(λΑ)B=Α(λB)；3.Α(B+C)=ΑB+ΑC，(B+C)Α=BΑ+C?。?.ΑE=EΑ=Α。(必須注意，只有第一個(gè)矩陣(左矩陣)的列數(shù)與第二個(gè)矩陣(右矩陣)的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘)定義7對于兩個(gè)方陣Α，B，若ΑB=BΑ，則稱方陣Α與B