非線性理論與方法

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1、工程中的非線性理論與方法Ref：1.馮康等編，數(shù)值計(jì)算方法，國(guó)防版。2.何君毅，工程結(jié)構(gòu)非線性問題的數(shù)值解法，國(guó)防工業(yè)版。3.王德人編，非線性方程組解法與最優(yōu)化方法，高教版4.李岳生編，數(shù)值逼近，人民教育出版社。緒論一．非線性問題的廣泛性工程中的非線性問題是普遍存在的。嚴(yán)格地講，工程中幾乎絕大多數(shù)復(fù)雜問題都具有非線性本質(zhì)或呈現(xiàn)出非線性現(xiàn)象，僅是在一定的條件之下，我們可將其理想化或簡(jiǎn)化為線性問題。因此，曾有學(xué)者認(rèn)為：在物質(zhì)世界中，無論是宇觀、宏觀和微觀，都是由一定層次結(jié)構(gòu)和功能的非線性系統(tǒng)構(gòu)成的，也即自然界和現(xiàn)實(shí)生活中幾乎所有系統(tǒng)都是非線性的。事實(shí)上，正是由于非線性的存在和作用，才孕育出大自然

2、的五彩繽紛、萬千氣象和人類社會(huì)的風(fēng)云變幻，人類思維的錯(cuò)綜差異。1.數(shù)學(xué)中的非線性問題：1）.代數(shù)插值2）.曲線曲面擬合3）.非線性回歸4）.高次代數(shù)方程和超越方程5）.非線性方程組6）.非線性常微分方程（組）7）.非線性偏微分方程（初值、邊值）8）.非線性規(guī)劃（無約束、約束）。2.機(jī)械與結(jié)構(gòu)工程中的非線性問題：1）.柔性可變結(jié)構(gòu)的計(jì)算（柔索計(jì)算）2）.材料非線性問題（彈塑性力學(xué)，塑性力學(xué)，蠕變力學(xué)）3）.復(fù)合材料力學(xué)4）.幾何非線性問題（大變形問題，屈曲問題）5）.邊界（接觸）非線性6）.非線性動(dòng)力學(xué)（定則振動(dòng)，隨機(jī)振動(dòng)）柔性多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)7）.非線性系統(tǒng)控制問題8）.傳熱學(xué)中的非線性問題9

3、）.流體力學(xué)和空氣動(dòng)力學(xué)中非線性問題等等一．非線性問題（系統(tǒng)）的特點(diǎn)盡管工程中的非線性問題涉及到許多學(xué)科，內(nèi)容不盡相同。但它們都具有如下非線性問題的共同特點(diǎn)：1.系統(tǒng)最終的控制方程均為非線性方程（代數(shù)、常微分、偏微分）2.線性迭加原理在整體上不成立，最多只在只局部近似成立例如：基于線性迭加原理的力法方程，杜哈美積分（卷積），振型迭加法等等，在整體上均不成立。對(duì)于非線性問題應(yīng)用線性問題中的這些求解方法將導(dǎo)致不真實(shí)甚至不合理的結(jié)果。3.問題一般無解析解（除一元二次方程外）即適用于線性問題的解析法對(duì)于非線性問題無能為力，故通常均需采用數(shù)值方法或其它近似方法求解。1.非線性問題的理論和方法僅在一定范

4、圍內(nèi)適用對(duì)于非線性系統(tǒng)一般都具有開放性、對(duì)稱破缺、不可逆性、遍歷性和不確定性。由于非線性問題的上述特征，使得對(duì)于非線性問題，人們不能再指望并且也不會(huì)存在有像牛頓力學(xué)那樣具有普遍性和完備性的理論，非線性問題中幾乎所有的理論和方法都不能也不可能包打天下，都將具有一定的適用范圍，即使像數(shù)學(xué)公理體系也都是不完備的。三.非線性問題研究的歷史與現(xiàn)狀歷史：工程中的非線性問題早在19世紀(jì)中葉就引起人們的關(guān)注，并引起了一些著名數(shù)學(xué)家，力學(xué)家的研究興趣，經(jīng)過他們的不懈努力，取得一些了不起的研究成果，例如，19世紀(jì)以俄國(guó)學(xué)者龐加箂為代表的學(xué)派，針對(duì)求解非線性振動(dòng)方程提出了攝動(dòng)方法、等效線性化方法、相平面方法等等，

5、至今仍為求解擬非線性微分方程的基本方法之一。又例如：針對(duì)于求解場(chǎng)問題（電磁場(chǎng)、溫度場(chǎng)、流場(chǎng)、應(yīng)力場(chǎng)）產(chǎn)生于20世紀(jì)早期的有限差分法和變分法等等，至今仍在發(fā)揮著重要的作用。然而，由于當(dāng)時(shí)科技水平的限制和計(jì)算工具的匱乏與落后，非線性問題的解決尚沒有革命性和根本性的突破。許多非線性問題仍被人們視若“難題”，“硬骨頭”和“攔路虎”，使人望而生畏、束手無策，。鑒于此，工程師在分析、計(jì)算和設(shè)計(jì)中不得不回避或繞道而行。，可以說，在相當(dāng)長(zhǎng)的歷史階段，科學(xué)家和工程師面對(duì)非線性科學(xué)向人們提出的巨大挑戰(zhàn)，在不懈的努力，焦急的徘徊。現(xiàn)狀：經(jīng)過幾代科學(xué)家多年的努力，特別是自20世紀(jì)60年代以來，有限差分，有限元和邊界

6、元法等數(shù)值方法的出現(xiàn)和發(fā)展，以及高速大容量的電子計(jì)算機(jī)的問世和普及應(yīng)用，為非線性問題的解決提供了必要的計(jì)算手段和計(jì)算工具，使人們對(duì)非線性問題的研究如虎添翼，研究工作取得了長(zhǎng)足的進(jìn)步。今天不僅已可對(duì)許多非線性問題進(jìn)行定性分析，而且定量的數(shù)值分析和模擬亦成為可能。近年來，科學(xué)家們對(duì)非線性問題的研究掀起了一個(gè)空前的高潮。非線性問題成為各學(xué)科中的熱點(diǎn)課題，研究論文與日俱增，學(xué)術(shù)研討會(huì)也越來越多。可以斷言，隨著非線性“普適性”和新的數(shù)學(xué)分析方法的誕生，使得許多人們長(zhǎng)期認(rèn)為是非常困難的非線性問題的求解不再是“天方夜譚”。如：流體力學(xué)中的湍流問題，分岔和分形問題，混沌問題，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)問題等等。充分顯示出

7、非線性科學(xué)的巨大潛力和重要意義。盡管在近十多余中，非線性科學(xué)的研究有了空前迅速的發(fā)展，但目前對(duì)非線性問題仍然缺乏系統(tǒng)的處理方法和分析框架，對(duì)于一般非線性發(fā)展方程還沒有線性問題中Fourier交換那樣類似的工具。完全地攻克非線性這一科學(xué)道路上的超級(jí)堡壘，是整個(gè)科學(xué)界進(jìn)入21世紀(jì)將面臨的一項(xiàng)巨大挑戰(zhàn)，也是未來整個(gè)自然科學(xué)和工程領(lǐng)域研究的前沿工作。四本課程學(xué)習(xí)主要內(nèi)容Ch1.代數(shù)插值Ch2.曲線曲面擬合Ch3.非線