概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末復(fù)習(xí)題

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1、計(jì)算題1、一箱產(chǎn)品共100件,其中次品個(gè)數(shù)從0到2是等可能的。開箱檢驗(yàn)時(shí)，從中隨機(jī)抽取10件，如果發(fā)現(xiàn)有次品，則認(rèn)為該箱產(chǎn)品不合要求而拒收。若已知該箱產(chǎn)品已通過驗(yàn)收，求該箱產(chǎn)品中確實(shí)沒有次品的概率。解：設(shè)“箱中有件次品”，由題設(shè)，有，又設(shè)“該箱產(chǎn)品通過驗(yàn)收”，由全概率公式，有故即通過驗(yàn)收的該箱產(chǎn)品確實(shí)沒有次品的概率是0.37。2、設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立同分布，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求隨機(jī)變量的概率密度解：因?yàn)榕c獨(dú)立同分布，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布所以首先求Z的分布函數(shù)當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，令則上式所以密度函數(shù)3、設(shè)二維隨機(jī)變量在矩形上服從均勻分布，（1）求的聯(lián)合概率密度（2）求關(guān)于、的邊緣概率密度（3）判斷與

2、的獨(dú)立性。解：（1）區(qū)域G的面積為（X、Y）的聯(lián)合概率密度為（2）X的邊緣概率密度為=Y的邊緣概率密度為=（3）顯然，所以X與Y不獨(dú)立。4．對敵人陣地進(jìn)行100次炮擊。每次炮擊命中目標(biāo)的炮彈的數(shù)學(xué)期望是4，標(biāo)準(zhǔn)差是1.5.求100次炮擊中有380至420顆炮彈命中目標(biāo)的概率.解答：設(shè)表示第次炮擊命中目標(biāo)的炮彈數(shù)，由題設(shè)，有，則次炮擊命中目標(biāo)的炮彈數(shù)，因相互獨(dú)立，同分布，則由中心極限定理知近似服從正態(tài)分布于是.應(yīng)用題1、由該商店過去的銷售記錄知道，某種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù)的普哇松分布來描述，為了以95%以上的把握保證不脫銷，問商店在月底至少應(yīng)進(jìn)某種商品多少件？（供參考：X，）解設(shè)該商店每月

3、銷售某種商品件，月底的進(jìn)貨為件，則當(dāng)（）時(shí)就不會脫銷，因而按題意要求為因?yàn)橐阎牡钠胀鬯煞植?，上式也就是由題意，，即于是，這家商店只要在月底進(jìn)貨某種商品15件（假定上個(gè)月沒存貨），就可以95%以上的把握保證這種商品在下個(gè)月內(nèi)不脫銷.2、據(jù)預(yù)測，假設(shè)國際市場上每年對我國某種出口商品的需求量X服從[2000,4000]（單位：噸）上的均勻分布。每銷售一噸，可賺外匯3萬元；而銷售不出，每噸需庫存費(fèi)1萬元。問應(yīng)組織多少貨源，才能使收益最大？解：設(shè)應(yīng)組織貨源噸，顯然則收益為因?yàn)閄的密度為所以當(dāng)時(shí)，達(dá)到最大證明題設(shè)隨機(jī)變量序列獨(dú)立同分布，其密度函數(shù)為其中為未知參數(shù)。令，試證：。證明：因?yàn)榈姆植己瘮?shù)為所以

4、，有故。計(jì)算題1已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為求的分布列。2、設(shè)二維隨時(shí)機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為（1）求；（2）求X和Y的邊際密度，并判斷X與Y是否相互獨(dú)立?應(yīng)用題1、設(shè)有一筆資金，總量記為1（可以是1萬元，也可以是100萬），如今投資甲、乙兩種證券。若將資金投資于甲證券，將余下的資金投資于乙證券，于是就形成了一個(gè)投資組合。記X為投資甲的收益率，Y為投資乙的收益率，它們都是隨機(jī)變量。如果已知X和Y的均值（代表平均收益）分別為和，方差（代表風(fēng)險(xiǎn)）分別為0.25和0.64，X和Y的相關(guān)系數(shù)為0.4.求該投資組合的平均收益與風(fēng)險(xiǎn)（方差），并求使投資風(fēng)險(xiǎn)最小的投資組合。2、有一電站供1000臺

5、設(shè)備用電，各臺設(shè)備用電與否是相互獨(dú)立的，若各臺設(shè)備用電量（度）在[0,60]上服從均勻分布。問若以0.99的概率保證這1000臺設(shè)備用電，電站至少需供應(yīng)多少度電？3、設(shè)總體X的概率密度函數(shù)是>0為未知參數(shù)，是一組樣本值，求參數(shù)的最大似然估計(jì)?！?、已知某煉鐵廠在生產(chǎn)正常的情況下，鐵水含碳量X服從正態(tài)分布，其方差為0.03。在某段時(shí)間抽測了10爐鐵水，測得鐵水含碳量的樣本方差為0.0375。試問在顯著水平下，這段時(shí)間生產(chǎn)的鐵水含碳量方差與正常情況下的方差有無顯著差異?五、證明題設(shè)為獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，且，證明服從大數(shù)定律.計(jì)算題1、解：上述步驟可以省去所以的分布列為2、解：（1）（2）得得即可得

6、，所以X與Y不獨(dú)立。應(yīng)用題1、解：設(shè)投資組合的收益為Z，則令得駐點(diǎn)且所以當(dāng)時(shí)投資風(fēng)險(xiǎn)最小，即使投資風(fēng)險(xiǎn)最小的投資組合為。2、解：設(shè)各臺設(shè)備用電量分別為Xi(i=1,2,…,1000)，則1000臺設(shè)備的用電量為X=X1+X2+…+X1000依題意知，EXi=(0+60)/2=30，DXi=(60-0)2/12=300，因此EX=30000，DX=300000，由中心極限定理，設(shè)電站需供應(yīng)a度電,由題意得，查表得即，得所以電站至少需供應(yīng)31276.19度，才能以0.99的概率保證這1000臺設(shè)備用電。3、解：似然函數(shù)為（）（）　令得且所以參數(shù)的最大似然估計(jì)為4、解：提出假設(shè)選取統(tǒng)計(jì)量拒絕域?yàn)椋夯?/p>

7、把，代入得實(shí)測未落入拒絕域，接受，即可相信這批鐵水的含碳量與正常情況下的方差無顯著差異。證明題1、證明：因所以，且相互獨(dú)立，由此得馬爾可夫條件而，，由夾逼準(zhǔn)則由馬爾可夫大數(shù)定律知服從大數(shù)定律.計(jì)算題11、假設(shè)，，試在以下不同條件下分別求：（1）；（2）互不相容；（3）獨(dú)立。解：（1）（2）（3）12、某廠兩條流水線生產(chǎn)彩電，產(chǎn)量分別占總量的40%和60%，次品率分別為0.02和0.01?，F(xiàn)在出廠彩