第01講 矢量分析與場論(1)

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1、第一章矢量分析與場論（1）1.什么是場？重力場、溫度場、電磁場、……在許多科學(xué)問題中，常常需要研究某種物理量（如溫度、密度、電位、力等等）在某一空間區(qū)域的分布和變化規(guī)律。為此，在數(shù)學(xué)上引入了場的概念。如果在某一空間里的每一點(diǎn)，都對應(yīng)著某個(gè)物理量的一個(gè)確定的值，則稱在此空間里確定了該物理量的一個(gè)場。如教室中每一點(diǎn)都對應(yīng)一個(gè)確定的溫度，教室中確立一個(gè)溫度場。地球周圍空間任一點(diǎn)對應(yīng)一個(gè)重力加速度值，在此空間就存在一個(gè)重力場。?從數(shù)學(xué)角度：場是給定區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)數(shù)值的集合，這些數(shù)值規(guī)定了該區(qū)域內(nèi)一個(gè)特定量的特性。比如：T是溫度場中的物理量，T就是溫度場?從物理角度：場是遍及一個(gè)被

2、界定的或無限擴(kuò)展的空間內(nèi)的，能夠產(chǎn)生某種物理效應(yīng)的特殊的物質(zhì)，場是具有能量的。場的分類：l按物理量的性質(zhì)分：標(biāo)量場：描述場的物理量是標(biāo)量。溫度場、密度場等是數(shù)量場矢量場：描述場的物理量是矢量。力場、速度場等為矢量場。l按場量與時(shí)間的關(guān)系分：靜態(tài)場：場量不隨時(shí)間發(fā)生變化的場。動(dòng)態(tài)場：場量隨時(shí)間的變化而變化的場。動(dòng)態(tài)場也稱為時(shí)變場。數(shù)量場的等值面一般地，數(shù)量場中各點(diǎn)處的數(shù)量u是位置的函數(shù)，在直角坐標(biāo)系中，是點(diǎn)的坐標(biāo)x，y，z的函數(shù)，即：就是說，一個(gè)數(shù)量場可以用一個(gè)數(shù)性函數(shù)來表示。場存在的空間即為其定義域。此后，我們總假定這個(gè)函數(shù)單值、連續(xù)且一階可導(dǎo)。在數(shù)量場中，使函數(shù)u取

3、相同數(shù)值的所有點(diǎn)所組成的曲面稱為該數(shù)量場的等值面。如溫度場的等溫面，電場的等位面等。顯然，數(shù)量場的等值面方程為：（常數(shù)）給定不同的常數(shù)c，就得到不同的等值面。如圖，c取遍所有可能的值時(shí)，這族等值面就充滿數(shù)量場所在的空間，而且這族等值面兩兩互不相交。因?yàn)閿?shù)量場中的每一點(diǎn)都有一個(gè)等值面通過，而且由于函數(shù)u為單值，故一個(gè)點(diǎn)只能在一個(gè)等值面上。例求數(shù)量場通過點(diǎn)(1,0,1)的等值面。解：等值面方程的一般形式為：因?yàn)辄c(diǎn)(1,0,1)在等值面上，其坐標(biāo)必滿足該方程故要求的等值面方程為或與三維數(shù)量場的等值面對應(yīng)，在函數(shù)所表示的平面數(shù)量場中，具有相同數(shù)值的所有點(diǎn)所連成的曲線稱為此數(shù)量

4、場的等值線。其方程為：（常數(shù)）如地形圖上的等高線等。數(shù)量場的等值面或等值線，可以幫助我們直觀地了解場中物理量的分布狀況和變化快慢。矢量場的矢量線矢量場中的場矢量，是場中點(diǎn)的位置的函數(shù)。在直角坐標(biāo)系中，即為x，y，z的函數(shù)：或其中以后一般都假定為單值、連續(xù)且一階連續(xù)可導(dǎo)。為了直觀地描述矢量場的分布情況，引入矢量線的概念：在其上每一點(diǎn)處，它都與該點(diǎn)的場矢量相切的曲線，稱為該矢量場的矢量線。如靜電場中的電力線，磁場中的磁力線等。2，矢性函數(shù)設(shè)t是一數(shù)性變量，為變矢，如果對于某一區(qū)間內(nèi)G[a，b]的每一個(gè)數(shù)值t，都以一個(gè)確定的矢量與之對應(yīng)，則稱為數(shù)性變量t的矢性函數(shù)。記為：。

5、而G為的定義域。矢性函數(shù)在直角坐標(biāo)系中的三個(gè)分量（或投影）都是變量t的函數(shù)，分別為，，。則矢性函數(shù)也可用其分量表示為：其中，，為x，y，z軸正向的單位矢量。xyz認(rèn)為所有的的起點(diǎn)都在坐標(biāo)原點(diǎn)，這樣，當(dāng)t變化時(shí)，的終點(diǎn)M就描繪出一條曲線l，該曲線稱為矢性函數(shù)的矢端曲線或圖形。反之，或稱為曲線l的矢量方程。的端點(diǎn)M是l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其三個(gè)坐標(biāo)x，y，z隨t的變化規(guī)律分別為：，，這就是曲線l的參數(shù)方程。3，矢性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分設(shè)是t的矢性函數(shù)，當(dāng)數(shù)性變量t在其定義域內(nèi)從t變到時(shí)，對應(yīng)的矢量從變化到，則稱為對應(yīng)于的增量。O在時(shí)的極限存在，則稱在點(diǎn)t可導(dǎo)，并稱此極限為在點(diǎn)t處的

6、導(dǎo)數(shù)。設(shè)矢性函數(shù)的三個(gè)分量，，在t處均可導(dǎo)，則有：這樣就把一個(gè)矢性函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算轉(zhuǎn)化為三個(gè)標(biāo)量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。例設(shè)二矢性函數(shù)證明：，，且證：∴和都是單位矢量，故其圖形都是單位圓。OMNOMN如圖，當(dāng)時(shí)，指向與一致，指向t值增大的一方；當(dāng)時(shí)，其指向與相反，但因此時(shí)指向t減小的一方，故它仍指向t增大的一方。當(dāng)時(shí)，由于割線MN繞點(diǎn)M轉(zhuǎn)動(dòng)，其極限位置為M處（即t點(diǎn)）的切線，因?yàn)樵贛N上，故當(dāng)時(shí)的極限位置也在M處的切線上，即是點(diǎn)M處（即t處）的切線上指向t增大一方的矢量。即導(dǎo)數(shù)是矢端曲線在t處的切向矢量，其指向?qū)?yīng)t增大的一方。設(shè)，和可導(dǎo)，則有：1°（——常矢量）2°3°（k

7、——常數(shù)）4°5°6°7°復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)，，則：例證明矢性函數(shù)的模為常數(shù)的充要條件是。證：必要性：若常數(shù)，則常數(shù)兩邊對t求導(dǎo)并利用運(yùn)算法則5°，即可得到充分性：若，則有因而常數(shù)也就是常數(shù)可見，例1-1中的結(jié)果是顯然的。例已知與一非零常矢量滿足，又知與之間的夾角為常數(shù)，試證明。證：兩邊對t求導(dǎo)得：即∴為常數(shù)，為常數(shù)，∴為常數(shù)，由例1-3的結(jié)論得：與標(biāo)量函數(shù)類似，在t處的微分定義為：顯然是一個(gè)矢量，且也在的矢端曲線l在t處的切線方向上，但不恒指向t增大的一方，當(dāng)時(shí)，與方向一致（t增大一方）；而當(dāng)時(shí)，與相反（t減小一方）。由微分的定義可以將其用各分量的微