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《周衍柏《理論力學》第五章教案-分析力學》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、第五章分析力學本章要求（1）掌握分析力學中的一些基本概念；（2）掌握虛功原理；（3）掌握拉格朗日方程；（4）掌握哈密頓正則方程。第一節(jié)約束和廣義坐標一、約束的概念和分類加于力學體系的限制條件叫約束。按不同的標準有不同的分類：按約束是否與時間有關分類：穩(wěn)定約束、不穩(wěn)定約束；按質點能否脫離約束分類：可解約束、不可解約束；按約束限制范圍分類：幾何約束（完整約束）、運動約束（不完整約束）。本章只討論幾何約束（完整約束），這種約束下的體系叫完整體系。二、廣義坐標1、自由度描述一個力學體系所需要的獨立坐標的個數叫
2、體系的自由度。設體系有n個粒子，一個粒子需要3個坐標（如x、y、z）描述，而體系受有K個約束條件，則體系的自由度為（3n-K）2、廣義坐標描述力學體系的獨立坐標叫廣義坐標。例如：作圓周運動的質點只須角度用θ描述，廣義坐標為θ，自由度為1，球面上運動的質點，由極角θ和描述，自由度為2。第二節(jié)虛功原理本節(jié)重點要求：①掌握虛位移、虛功、理想約束等概念；②掌握虛功原理。一、實位移與虛位移質點由于運動實際上所發(fā)生的位移叫實位移；在某一時刻，在約束允許的情況下，質點可能發(fā)生的位移叫虛位移。如果約束為固定約束，則實
3、位移是虛位移中一的個；若約束不固定，實位移與虛位移無共同之處。例如圖5.2.1中的質點在曲面上運動，而曲面也在移動，顯然實位移與虛位移不一致。二、理想約束設質點系受主動力和約束力的作用，它們在任意虛位移中作的功叫虛功。若約束反力在任意虛位移中對質點系所作虛功之和為零，則這種約束叫理想約束。光滑面、光滑線、剛性桿、不可伸長的繩等都是理想約束。三、虛功原理1、文字敘述和數學表示：受理想約束的力學體系，平衡的充要條件是：作用于力學體系的諸主動力在任意虛位移中作的元功之和為零。即（1）適用條件：慣性系、理想不
4、可解約束。2、?推論設系統(tǒng)的廣義坐標為q1，……，qa，……，qS，虛位移可寫為用廣義坐標變分表示的形式：定義：稱為相應于廣義坐標qa的廣義力，則虛功原理表述為：理想約束的力學體系平衡的充要條件為質點系受的廣義力為零，即：（2）3、用虛功原理求解平衡問題的方法步驟一般步驟為：（1）確定自由度，選取坐標系，分析力（包括主動力、約束力）；（2）選取廣義坐標并將各質點坐標表示成廣義坐標qa的函數：；（3）求主動力的虛功并令其為零：，由此求出平衡條件。[例]見書P276[例1]第三節(jié)拉格朗日方程本節(jié)重點要求：
5、（1）掌握拉格朗日方程的兩種形式，方程的特點和適用條件等；（2）掌握用拉格朗日方程求解具體問題的步驟；（3）了解循環(huán)積分等概念。一、基本形式的拉格朗日方程1、方程的推導由牛頓第二定律并應用理想約束的條件，可以得到達朗伯——拉格朗日方程：(1)將坐標的變分改成用廣義坐標q1，……，qS的變分表示，即：經數學運算，令（稱為體系的動能），（稱為相應于qa的廣義力），則（1）式變?yōu)椋海?）這就是基本形式的拉格朗日方程，應注意：（2）實際是一組方程。2、方程的適用條件：理想約束。二、保守系的拉格朗日方程設作用于
6、體系的力全為保守力，則廣義力可由（V為勢能）求得：在普遍形式的拉氏方程（2）中，由于V不包含廣義速度，可令：（動能與勢能的差）為拉格朗日函數，則（2）式變?yōu)椋海?）應指出（3）的適用條件為保守系，理想約束，且（3）應用很普遍。三、應用拉格朗日方程求解問題的步驟，例一般步驟：①畫草圖，確定自由度s和廣義坐標qa；②分析主動力，若為保守系，則求出勢能V；若為非保守力，則計算廣義力Qa；③求動能T=T（）；④對保守系，求出L=T-V，進而代入方程（3），寫出運動方程；⑤對非保守系，將T和廣義力Qα代入方程（
7、2），寫出運動方程。⑥解方程，求出qα（t）。[例1]P2654.10題圓環(huán)在光滑圓圈上運動，而圓圈繞垂直圓面的軸作勻角速運動，求圓環(huán)運動規(guī)律。解：方法一：牛頓力學方法（已在第四章第三節(jié)作為舉例計算）方法二：用拉格朗日方程求解。這是光滑圓圈且受的力只有重力和約束力，屬于保守體系，可采用保守系的拉氏方程求解。質點自由度為1，轉角θ為廣義坐標，廣義速度為。任一角度θ時圓環(huán)（視為質點）的動能，其中絕對速度v可由速度合成公式求出：這里（方向沿切線方向），牽連速度，大小為，方向垂直于op。由速度合成公式得到：動
8、能：取圓平面為零勢能位置，則V=0，從而L=T-V=T-0=T代入拉氏方程（2）中：，得到四、循環(huán)積分。若拉氏函數L中某一坐標qi不出現(xiàn)，則該坐標qi叫循環(huán)坐標，則（常數），叫循環(huán)積分。第五節(jié)哈密頓正則方程本節(jié)不作重點要求。基本要求是：了解正則坐標、正則動量的概念和正則方程及其應用。一、哈密頓函數設力學體系的廣義坐標為，廣義速度為，則拉格朗日函數,定義廣義動量，則函數叫哈密頓函數。它是廣義坐標、廣義動量的函數，而廣義坐標、廣義動量稱為正則變量。特例：對保
