寒假數(shù)學(xué)集訓(xùn)模擬測(cè)試甲班

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1、2013年奧林教育寒假數(shù)學(xué)集訓(xùn)甲班模擬測(cè)試一第一試一、填空題1.函數(shù)，則的解集為。2.。3.已知數(shù)列滿足，且，則。（用表示）4.已知的兩條直角邊為斜邊上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)沿將此直角三角形折成直二面角，則當(dāng)取得最小值時(shí)，二面角的大小為。5.已知橢圓的方程為，經(jīng)橢圓的左焦點(diǎn)，斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，設(shè)，延長(zhǎng)分別與橢圓交于兩點(diǎn)，直線的斜率為，則。6.對(duì)于，定義，其中，表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，則在中滿足的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為。7.給定一個(gè)單位圓的內(nèi)接正（為奇數(shù)）邊形，記為正邊形任兩個(gè)不同頂點(diǎn)之間的距離所組成的集合，則的值為。8.設(shè)為一個(gè)給定的奇質(zhì)數(shù)，對(duì)于，記為模的余數(shù)，

2、則。二、解答題9.設(shè)為給定的正整數(shù)，記，證明：11。10.定義在上的函數(shù)滿足：，且對(duì)任意，有，求最小的實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意，都有。11.已知雙曲線，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，設(shè)，求的取值范圍。11加試一、已知的外接圓過(guò)點(diǎn)的切線交于點(diǎn)，在射線上分別取點(diǎn)滿足，過(guò)點(diǎn)的直線分別與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，證明：。二、對(duì)于給定的正整數(shù)，記，規(guī)定：當(dāng)時(shí)，，證明：11三、定義函數(shù)，滿足，其中，表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，對(duì)于（1）；（2）；（3），求。四、有2012位學(xué)者參加某數(shù)學(xué)會(huì)議，他們中有些人相互認(rèn)識(shí)，且滿足：（1）每個(gè)人至少人數(shù)

3、其中的671人；（2）對(duì)于其中任意兩個(gè)人，若相互不認(rèn)識(shí)，則總可以通過(guò)其他人間接認(rèn)識(shí)，即存在，使得認(rèn)識(shí)認(rèn)識(shí)認(rèn)識(shí)；（3）不可以將2012位學(xué)者排成一排，使得相鄰的兩個(gè)人相互認(rèn)識(shí)。證明：可以將2012位學(xué)者分成兩組，其中一組能夠排成一圈，使得相鄰的人互相認(rèn)識(shí)，另一組任何兩個(gè)人不認(rèn)識(shí)。2013年奧林教育寒假數(shù)學(xué)集訓(xùn)甲班模擬測(cè)試一第一試答案一、填空題1..易知，函數(shù)是定義在上單調(diào)遞增的奇函數(shù)，由。2..113..由，則，故.4..圖1如圖1，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，設(shè)，由折疊后的圖形知，故當(dāng)時(shí)，最小.下面求二面角的大小.過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，折疊后為二面角的平面角.在中，，故.5..

4、設(shè)，則直線11代入橢圓方程消去得，則.代入直線的方程得，于是，.同理，.則.因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，.故.6.108.記，則.注意到，為模的余數(shù)，是的首位數(shù)字。下面分類(lèi)討論.（1）為一位數(shù)，均滿足要求，共9個(gè).（2），共81個(gè)（除了的）.（3），于是，共9個(gè).（4），于是，，共9個(gè).故滿足要求的的個(gè)數(shù)為108.7..設(shè)，記多邊形為，將正多邊形放到復(fù)平面內(nèi)，中心為原點(diǎn)，頂點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為.11記為中從大到小的第個(gè)距離，則.則，由.8..易知.因?yàn)?，所以?故.二、解答題9.注意到，.故.10.（1）證明：對(duì)一切的，有，若，則；若，不妨設(shè)，則.（2）對(duì)于函數(shù).若

5、，則若，則.當(dāng)時(shí)，；11當(dāng)時(shí)，.故綜上，滿足要求，且.因此，.由（1）、（2）知.11.設(shè)直線，則.設(shè)，將直線的方程代入雙曲線的方程得因?yàn)榉匠挞儆袃蓚€(gè)不同的正根，所以，.由，得.將其代入雙曲線方程得.同理，.于是，是方程的兩個(gè)根，其中，.則.11故.記，則，.所以.加試一、如圖2，設(shè)為的平分線，與交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，圖2由，得.于是，.因此，，則.同理，.故.又，故.11二、記.則.記則.故.從而，.三、易知，，且對(duì)一切，.則，，.若，則.因?yàn)?，所以?故.（1）；（2）由，得；（3）.四、將2012位學(xué)者看作2012個(gè)點(diǎn)與相鄰當(dāng)且僅當(dāng)與11相互認(rèn)識(shí)，這樣就得

6、到了一個(gè)圖.取最長(zhǎng)一條鏈，不妨設(shè).由條件（3）知，設(shè)表示與相鄰的點(diǎn)的集合，則.設(shè)，，，.由鏈的最長(zhǎng)性，知對(duì)任意的.下面用反證法證明：.假設(shè)，則，矛盾.故.設(shè)，則構(gòu)成一個(gè)圈.對(duì)于余下的點(diǎn)：與不相連，除以外的任意兩點(diǎn)，若與相連，則一定存在一條包含了和的一條鏈，這樣就找到了比更長(zhǎng)的鏈，矛盾。故與不相連.綜上，可以將2012位學(xué)者分成兩組，其中一組能夠排成一圈，使得相鄰的人相互認(rèn)識(shí)，另一組任何兩個(gè)人不認(rèn)識(shí)。11