動(dòng)點(diǎn)最值問題解法探析

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1、http://www.langlangjiajiao.com/jy-c517/交大家教動(dòng)點(diǎn)最值問題解法探析一、問題原型：（人教版八年級(jí)上冊(cè)第42頁探究）如圖1-1，要在燃?xì)夤艿郎闲藿ㄒ粋€(gè)泵站，分別向、兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？這個(gè)“確定最短路線”問題，是一個(gè)利用軸對(duì)稱解決極值的經(jīng)典問題。解這類問題二、基本解法：對(duì)稱共線法。利用軸對(duì)稱變換，將線路中各線段映射到同一直線上（線路長(zhǎng)度不變），確定動(dòng)點(diǎn)位置，計(jì)算線路最短長(zhǎng)度。三、一般結(jié)論：(在線段上時(shí)取等號(hào))（如圖1-2）　　　　　　線段和最小，常見

2、有三種類型：（一）“

3、定動(dòng)

4、+

5、定動(dòng)

6、”型：兩定點(diǎn)到一動(dòng)點(diǎn)的距離和最小通過軸對(duì)稱，將動(dòng)點(diǎn)所在直線同側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)中的其中一個(gè)，映射到直線的另一側(cè)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在這個(gè)定點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)及另一定點(diǎn)的線段上時(shí)，由“兩點(diǎn)之間線段最短”可知線段和的最小值，最小值為定點(diǎn)線段的長(zhǎng)。1.兩個(gè)定點(diǎn)+一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。如圖1-3，作一定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn)，線段（是另一定點(diǎn)）與的交點(diǎn)即為距離和最小時(shí)動(dòng)點(diǎn)位置，最小距離和。例1（2006年河南省中考題）如圖2，正方形的邊長(zhǎng)為，是的中點(diǎn)，是對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是　　　　　。http://www.langla

7、ngjiajiao.com10年專注，8萬上海家長(zhǎng)首選朗朗家教網(wǎng)！http://www.langlangjiajiao.com/jy-c517/交大家教　　　　　　　　　　　　　　解析：與關(guān)于直線對(duì)稱，連結(jié)，則。連結(jié),在中，，，則　　故的最小值為例2?。?009年濟(jì)南市中考題）如圖3，已知：拋物線的對(duì)稱軸為，與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，其中，?！　　　　　　　　　　　　　　　　　　。?）求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）已知在對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)，使得的周長(zhǎng)最小，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)。解析：（1）對(duì)稱軸為，，由對(duì)稱性可知：。根據(jù)、、三

8、點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法，可求得拋物線為：（2）與關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，連結(jié)，與對(duì)稱軸交點(diǎn)即為所求點(diǎn)。設(shè)直線解析式為：。把、代入得，。當(dāng)時(shí)，，則2.兩個(gè)定點(diǎn)+兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)。http://www.langlangjiajiao.com10年專注，8萬上海家長(zhǎng)首選朗朗家教網(wǎng)！http://www.langlangjiajiao.com/jy-c517/交大家教兩動(dòng)點(diǎn)，其中一個(gè)隨另一個(gè)動(dòng)（一個(gè)主動(dòng)，一個(gè)從動(dòng)），并且兩動(dòng)點(diǎn)間的距離保持不變。用平移方法，可把兩動(dòng)點(diǎn)變成一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為“兩個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”類型來解。例3　如圖4，河岸兩側(cè)有、兩個(gè)

9、村莊，為了村民出行方便，計(jì)劃在河上修一座橋，橋修在何處才能兩村村民來往路程最短？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解析：設(shè)橋端兩動(dòng)點(diǎn)為、，那么點(diǎn)隨點(diǎn)而動(dòng)，等于河寬，且垂直于河岸。將向上平移河寬長(zhǎng)到，線段與河北岸線的交點(diǎn)即為橋端點(diǎn)位置。四邊形為平行四邊形，，此時(shí)值最小。那么來往、兩村最短路程為：。例4　(2010年天津市中考)在平面角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)、分別在軸、軸的正半軸上，，，為邊的中點(diǎn)。（1）若為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若，為邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，當(dāng)四邊形的周長(zhǎng)最小時(shí)，求

10、點(diǎn)，的坐標(biāo)。解析：作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，則，。（1）連接交軸于點(diǎn)，連接，此時(shí)的周長(zhǎng)最小。由可知，那么，則。（2）將向左平移2個(gè)單位（）到點(diǎn)，定點(diǎn)、分別到動(dòng)點(diǎn)、的距離和等于為定點(diǎn)、到動(dòng)點(diǎn)的距離和，即。從而把“兩個(gè)定點(diǎn)和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)”類問題轉(zhuǎn)化成“兩個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”類型。http://www.langlangjiajiao.com10年專注，8萬上海家長(zhǎng)首選朗朗家教網(wǎng)！http://www.langlangjiajiao.com/jy-c517/交大家教在上截取，連接交軸于，四邊形為平行四邊形，。此時(shí)值最小，則四邊形的周長(zhǎng)最小。由

11、、可求直線解析式為，當(dāng)時(shí)，，即，則。（也可以用（1）中相似的方法求坐標(biāo)）　　　　　　　?。ǘ?/p>

12、動(dòng)定

13、+

14、動(dòng)動(dòng)

15、”型：兩動(dòng)點(diǎn)分別在兩條直線上獨(dú)立運(yùn)動(dòng)，一動(dòng)點(diǎn)分別到一定點(diǎn)和另一動(dòng)點(diǎn)的距離和最小。利用軸對(duì)稱變換，使一動(dòng)點(diǎn)在另一動(dòng)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)與定點(diǎn)的線段上（兩點(diǎn)之間線段最短），且這條線段垂直于另一動(dòng)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)所在直線（連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短）時(shí)，兩線段和最小，最小值等于這條垂線段的長(zhǎng)。例5?。?009年陜西省中考）如圖6，在銳角中，，，的平分線交于點(diǎn)，、分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為4?！ttp:/

16、/www.langlangjiajiao.com10年專注，8萬上海家長(zhǎng)首選朗朗家教網(wǎng)！http://www.langlangjiajiao.com/jy-c517/交大家教解析：角平分線所在直線是角的對(duì)稱軸，上動(dòng)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在上，，，當(dāng)時(shí)，最小。作于，交于，∵，∴作交于，例6　如圖7，四邊形是等腰梯