數(shù)列通項(xiàng)公式常見求法

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1、數(shù)列通項(xiàng)公式的常見求法數(shù)列在高中數(shù)學(xué)中占有非常重要的地位，每年高考都會出現(xiàn)有關(guān)數(shù)列的方面的試題，一般分為小題和大題兩種題型，而數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法是?？嫉囊粋€知識點(diǎn)，一般常出現(xiàn)在大題的第一小問中，因此掌握好數(shù)列通項(xiàng)公式的求法不僅有利于我們掌握好數(shù)列知識，更有助于我們在高考中取得好的成績。下面本文將中學(xué)數(shù)學(xué)中有關(guān)數(shù)列通項(xiàng)公式的常見求法進(jìn)行較為系統(tǒng)的總結(jié)，希望能對同學(xué)們有所幫助。一.公式法高中重點(diǎn)學(xué)了等差數(shù)列和等比數(shù)列，當(dāng)題中已知數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，在求其通項(xiàng)公式時我們就可以直接利用等差或等比數(shù)列的公式

2、來求通項(xiàng)，只需求得首項(xiàng)及公差公比。1、等差數(shù)列公式例1、（2011遼寧理）已知等差數(shù)列{an}滿足a2=0，a6+a8=-10（I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；解：（I）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由已知條件可得解得故數(shù)列的通項(xiàng)公式為2、等比數(shù)列公式例2.（2011重慶理）設(shè)是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，，。（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式解：I）設(shè)q為等比數(shù)列的公比，則由，即，解得（舍去），因此所以的通項(xiàng)為3、通用公式若已知數(shù)列的前項(xiàng)和的表達(dá)式，求數(shù)列的通項(xiàng)可用公式求解。一般先求出a1=S1，若計(jì)算出的an中當(dāng)n=1適合時可以合

3、并為一個關(guān)系式，若不適合則分段表達(dá)通項(xiàng)公式。例3、已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，求的通項(xiàng)公式。解：，當(dāng)時由于不適合于此等式?！喽?當(dāng)題中告訴了數(shù)列任何前一項(xiàng)和后一項(xiàng)的遞推關(guān)系即：和an-1的關(guān)系時我們可以根據(jù)具體情況采用下列方法1、疊加法一般地，對于型如類的通項(xiàng)公式，且的和比較好求，我們可以采用此方法來求。即：；例4、（2011四川理8）數(shù)列的首項(xiàng)為，為等差數(shù)列且．若則，，則A．0B．3C．8D．11解：由已知知由疊加法例5、已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：（1）由題知：2、疊乘法一般地對于形如“已知a1，且=

4、f（n）（f（n）為可求積的數(shù)列）”的形式可通過疊乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式。即：；例6、在數(shù)列｛｝中，=1,(n+1)·=n·，求的表達(dá)式。解：由(n+1)·=n·得，=··…=所以3、構(gòu)造法當(dāng)數(shù)列前一項(xiàng)和后一項(xiàng)即和an-1的遞推關(guān)系較為復(fù)雜時，我們往往對原數(shù)列的遞推關(guān)系進(jìn)行變形，重新構(gòu)造數(shù)列，使其變?yōu)槲覀儗W(xué)過的熟悉的數(shù)列（等比數(shù)列或等差數(shù)列）。具體有以下幾種常見方法。（1）、待定系數(shù)法①、一般地對于an=kan-1+m(k、m為常數(shù)）型，可化為的形式an+λ=k(an-1+λ).重新構(gòu)造出一個以k為公比的等

5、比數(shù)列，然后通過化簡用待定系數(shù)法求λ，然后再求。例7、（2011廣東理）設(shè)b>0,數(shù)列滿足a1=b，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；解：，得，設(shè)，則，（?。┊?dāng)時，是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，即，∴（ⅱ）當(dāng)時，設(shè)，則，令，得，，知是等比數(shù)列，，又，，．②、對于這種形式,一般我們討論兩種情況：i、當(dāng)f(n)為一次多項(xiàng)式時，即數(shù)列的遞推關(guān)系為型，可化為的形式來求通項(xiàng)。例8.設(shè)數(shù)列中，，求的通項(xiàng)公式。解：設(shè)與原式比較系數(shù)得：即令ii、當(dāng)f(n)為指數(shù)冪時，即數(shù)列遞推關(guān)系為（A、B、C為常數(shù)，）型，可化為=）的形式.構(gòu)

6、造出一個新的等比數(shù)列，然后再求例9.（2003年全國高考題）設(shè)為常數(shù)，且（），證明：對任意n≥1，解：證明：設(shè)用代入可得∴是公比為，首項(xiàng)為的等比數(shù)列，∴（），即：當(dāng)然對于這種形式遞推關(guān)系求時，當(dāng)A=C時，我們往往也會采取另一種方法，即左右兩邊同除以Cn+1,重新構(gòu)造數(shù)列，來求。例10、（2007天津理）在數(shù)列中，，其中．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；解：由，，可得，所以為等差數(shù)列，其公差為1，首項(xiàng)為0，故，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）、倒數(shù)法一般地形如、等形式的遞推數(shù)列可以用倒數(shù)法將其變形為我們熟悉的形式來求通

7、項(xiàng)公式。例11.已知數(shù)列滿足：，求的通項(xiàng)公式。解：原式兩邊取倒數(shù)得：即例12、（北京龍門育才學(xué)校2011屆高三上學(xué)期第三次月考）在數(shù)列{}中，，并且對任意都有成立，令．（Ⅰ）求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；解：（1）當(dāng)n=1時，,當(dāng)時，由，等式兩邊取倒數(shù)得：所以所以數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為1的等差數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為（3）、對數(shù)法當(dāng)數(shù)列和an-1的遞推關(guān)系涉及到高次時，形如：anp=man-1q（其中m、p、q為常數(shù)）等，我們一般采用對數(shù)法，等式兩邊分別取對數(shù)，進(jìn)行降次，再重新構(gòu)造數(shù)列進(jìn)行求解。例13、（200

8、6山東）已知a1=2，點(diǎn)(an,an+1)在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上，其中=1，2，3，…（1）證明數(shù)列｛lg(1+an)｝是等比數(shù)列；解：（1）由已知，，兩邊取對數(shù)得，即是公比為2的等比數(shù)列.例14、若數(shù)列{}中，=3且（n是正整數(shù)），則它的通項(xiàng)公式是=▁▁▁（2002年上海高考題）.解由題意知＞0，將兩邊取對數(shù)得，即，所以數(shù)列是以=為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，，即.（4）、特征方程法①、一般地對于形如已知an+2=