既發(fā)散又收斂的無窮級數(shù)

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1、№．4陜西科技大學學報Aug．2004·12O·JOURNALOFSHAANXIUNIVERSITYOFSCIENCE＆TECHNOLOGYVoI．22’文章編號：1O0O一58ii(2004)O2一O12O一03既發(fā)散又收斂的無窮級數(shù)張慧(陜西科技大學理學院，陜西咸陽712081)摘要：調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的，這是早就有的結(jié)論，但作者在本文中證明了它是收斂的，這是數(shù)學理論上的一個突破。關(guān)鍵詞：調(diào)和級數(shù)；發(fā)散；收斂；絕對收斂中圖分類號：O173文獻標識碼：A我們可以用10種方法證明調(diào)和級數(shù)1是發(fā)散的(參見《高等數(shù)學題解詞典》)，這

2、里只給出一種比較簡單的反證法：假設(shè)調(diào)和級數(shù)1收斂，記其和為s，即s一考慮該級數(shù)的部分和s一1++．．．+sz一1+1+-．·++++-．-+sz一++-．-+>++．．·+一翌一+2根據(jù)函數(shù)極限的保號性，有l(wèi)im(Sz一S)≥()n—+o。厶但是，由假設(shè)可得1im(S2一S)一1ireS2一1ireS一S—S三0H—+o。，卜’o。n—+o。這與()式矛盾，說明假設(shè)是錯誤的，因此調(diào)和級數(shù)吉發(fā)散。證畢?，F(xiàn)將調(diào)和級數(shù)1中分母含有9的項刪去后所得的級數(shù)為1+1+?+吉++?+++?+1j·收稿日期：2003—08—1】作者簡介：張

3、慧f1959一)，女，陜西省戶縣人．副教授．研究方向：模式計算第4期張慧：既發(fā)墨竺竺+．．．++．．．++而1+．_．++．．’因為正項級數(shù)不論收斂與否都可以隨意加括號，所以將(1)式前8項括在一起，以后每9項括在一起，+一m一～+一m得一一一(+1+?+丟)+(+?+)+(去+?++)～++．_．+(+．_．+)+(而1+．_．+)+．．·一m～一<～<級數(shù)(1)與(2)的斂散性應(yīng)該是一致的。<一Om～．<一面1因為1++?+丟<3(這是容易驗證的)，所以對于(2)式中分母為兩位數(shù)的項，有。一O．一O+?十<而一這些不等式

4、左邊之和+?++?++?+麗1+?+<嘉<(+1+?+吉)<×3+?+<麗9對于(2)式中分母為三位數(shù)的項，有IO0+l?+土108<1O0這些不等式左邊之和+．．．+++?+<?！烈?)+-．一+<一專×這些不等式左邊之和+?+一1+?+<<200。。208+。?+288<×9<9×一一2(l)281+。?+。288<281

5、×3由數(shù)學歸納法知，(2)式中分母為位數(shù)的項總和將小于3x()一，一1，2，3，?，于是I+1+?+吉)+(+?+)+?+(+?+矗)+(而1+?+)+?<3十x3+()x3十()×3+?+()×3+?．122·陜西科技大學學報弟22巷==：3El+~o+()。+()。+?+()一+?]_3。。因此正項級數(shù)(2)收斂，從而級數(shù)(1)收斂，且為絕對收斂(級數(shù)(1)是正項級數(shù))。再考慮調(diào)和級數(shù)妻1中分母含有9的項所構(gòu)成的級數(shù)：n=l告+++?+由++?+1++擊+．．·+兩1++．．．+擊+．．·(3)將該級數(shù)中分母位數(shù)相同的項

6、括在一起，即告+(++?+)+(而1+幣1+?+擊+?+麗1)+?(4)由于丟小于級數(shù)(1)中分母為一位數(shù)的各項之和，++?+小于級數(shù)(1)中分母為兩位數(shù)的各項之和，而1++?+擊+?+麗1小于級數(shù)(1)中分母為3位數(shù)的各項之和，??，而級數(shù)(1)是絕對收斂的，所以級數(shù)(4)是絕對收斂的，從而級數(shù)(3)是絕對收斂的，且其和不超過30。把級數(shù)(1)和級數(shù)(3)相加，所得級數(shù)為(1+1+?+1+?+而1+?)+1++?+兩1+?+擊+?(5)根據(jù)收斂級數(shù)的性質(zhì)，知級數(shù)(5)絕對收斂，且其和不超過60。由于絕對收斂級數(shù)可以任意調(diào)換

7、各項位置而不改變其收斂性，所以將級數(shù)(5)的各項由大到小排所得1新級數(shù)仍然收斂，而這個新級數(shù)正好是調(diào)和級數(shù)，所以調(diào)和級數(shù)是收斂的。n=l無窮級數(shù)要么收斂，要么發(fā)散，二者必居其一，這是早就有的結(jié)論，而作者如今證明了調(diào)和級數(shù)1既是發(fā)散的，又是收斂的，這就出現(xiàn)了矛盾，這個矛盾有待解決。參考文獻(13同濟大學應(yīng)用數(shù)學系編．微積分[M]．北京：高等教育出版社，2002，256．C23蔣傳章等編．高等數(shù)學題解詞典[M]．西安：陜西科學技術(shù)出版社，1993，1587~1592(33婁潔．調(diào)和級數(shù)的一個有趣性質(zhì)[J]．數(shù)學學習，1996，(

8、2)：6．INFINITESERIESWITHDIVERGENCEANDCONVERGENCEZHANGHui(FacuhyofScience，ShaanxiUniversityofScience&Technology，Xianyang712081，China)Abstract：Iteae