strongart數(shù)學(xué)筆記：淺談辛幾何與辛流形

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1、淺談辛幾何與辛流形最近學(xué)了一點辛幾何，給大家談幾點初級想法，主要是側(cè)重于辛流形的基本概念，解釋一下什么是“HamiltonG-空間（M，ω，Φ）”，后者似乎是辛幾何中經(jīng)常出現(xiàn)的對象?，F(xiàn)代幾何學(xué)的基本舞臺是流形，但在研究一般流形時都默認(rèn)讀者已經(jīng)了解線性空間，而這里辛流形用到的線行空間是帶有辛結(jié)構(gòu)的，這一點一般讀者未必都熟悉，因此一般辛幾何的入門書籍大都從辛線性空間開始介紹。所謂的辛線性空間，就是一般線性空間V上加一個辛結(jié)構(gòu)ω，它被定義為V上的一個非退化反對稱雙線性形式，對此，可以類比所謂線性空間的正交結(jié)構(gòu)，這里的辛結(jié)構(gòu)則是把正交結(jié)構(gòu)中的對稱換成了反對稱，類似的我們也可以定義辛向量空間下正交補的

2、概念，只不過此時可能出現(xiàn)子空間W≤W⊥的情況，這樣的子空間被稱為迷向的（isotropic）；假若W=W⊥，則子空間W稱為Lagrange的。辛向量空間（V，ω）上結(jié)構(gòu)可以由辛基完全決定，所謂的辛基是指一組向量{e_1,…,e_d,f_1,…,f_d}，它滿足條件ω（e_i,f_j)=δ_ij，ω（e_i,e_j）=ω（f_i,f_j）=0.任何辛向量空間內(nèi)都有這樣的辛基，因此總是偶數(shù)維的，同時任何2d維辛向量空間都同構(gòu)與d個R^2上辛向量空間的直和。在此辛基下，V的Lagrange子空間均占據(jù)著一半的辛基，不妨就設(shè)為e_1,…,e_d，要是再添上另外的f_i項，那就只能稱為是迷向子空間了。

3、把正交結(jié)構(gòu)推廣到一般流形上就得到一個黎曼結(jié)構(gòu)，而把辛結(jié)構(gòu)推廣到流形上馬馬虎虎的還是叫辛結(jié)構(gòu)。具體來說，假若流形M上帶一個反對稱的非退化閉二形式ω，那么（M，ω）就稱為一個辛流形。對于辛流形我們有如下的典型性質(zhì)：1.偶數(shù)維：這是因為流形的維數(shù)就是切空間的維數(shù)，而切空間就是上面提到辛向量空間，因此一定是偶數(shù)維的。2.可定向：這個是因為我們可以對ω做外積，得到它的體積形式ω^d，這里d=dimM/2.3.若M是緊流形，偶數(shù)階deRham上同調(diào)群H^2i(M，R）（1≤i≤d）非平凡：ω^i就是H^2i(M，R）的非零元素。4.切叢TM標(biāo)準(zhǔn)同構(gòu)與余切叢T*M：具體來說，對任何x∈M，可由內(nèi)積v→i（

4、v）ω_x，v∈T_x(M)給出這里的對應(yīng)關(guān)系，5.辛結(jié)構(gòu)ω在局部坐標(biāo)可取為與C^d相同的標(biāo)準(zhǔn)形式ω=dx_1∧dy_1+…+dx_n∧dy_d，這個結(jié)論被稱為Darboux定理。它說明同維數(shù)辛流形在局部上都是辛同胚的。由此可見，辛流形與Riemann流形的狀況是完全不同的，在Riemann幾何位于中心地位曲率概念在辛幾何中是平凡的。有人對此可能會有疑問，辛流形與Riemann流形的主要差別就是2-形式的對稱與反對稱，出現(xiàn)迷向的情況還是可以理解的，但似乎不至于一下子讓曲率消失掉。通過與國外學(xué)者交流，我明白了其中的奧妙，主要就是辛流形的概念中的微分形式ω是閉的，也就是說還附加一個微分方程dω=

5、0，而在Riemann幾何中這個微分方程就對應(yīng)于曲率為零的條件，辛幾何其實只是對應(yīng)于Riemann幾何中的一個特例而已。由此可見，辛流形的條件還是相當(dāng)苛刻的，即便是最常見的球面，一般還無法構(gòu)成辛流形（n>2維球面的二階上同調(diào)群平凡?。Ｈ欢?，我們卻又一大類特殊的辛流形，這就是一般光滑流形Q的余切叢T*Q，后者自然帶有一個辛流形的結(jié)構(gòu)。假若π：T*Q→Q是一個自然投影，我們可以定義T*Q上的典型一形式α如下：對任何p∈Q<α_p,v>=,v∈T_p(T*Q)進而得到T*Q上的典型二形式：ω=-dα這樣得到ω不僅是閉的，而且還是恰當(dāng)?shù)?。假若一個辛流形上的辛形式ω都有這樣的恰

6、當(dāng)形式，那么它就稱為恰當(dāng)辛流形。光滑流形的余切叢都可以被構(gòu)造成恰當(dāng)辛流形。在余切叢T*Q內(nèi)，Q的截面像構(gòu)成T*Q的一個Lagrange辛子流形，即其切空間是T*Q的切空間的Lagrange子空間且繼承了T*Q的辛結(jié)構(gòu)的子流形。下面來談?wù)勑亮餍危∕，ω）上的一些幾何構(gòu)造。先看所謂的辛向量場，它可以由D_X(ω)=0定義，此外還有對應(yīng)于M上某個函數(shù)H的Hamilton向量場，它由i（X_H)ω=dH定義。通過Weil公式，D_X=di(X)+i(X)d可以證明Hamilton向量場都是辛向量場。記（M，ω）上所有辛向量場的空間為S（M，ω），所有Hamilton向量場的空間為H（M，ω），我們有

7、基本的正合列：0→H^0（M；R）→C^∞（M）→S（M，ω）→H^1（M；R）→0其中C^∞（M）→S（M，ω）是由函數(shù)f映射到它決定的Hamilton向量場H_f上的映射，當(dāng)上同調(diào)群H^1（M；R）=0時，M上所有的辛向量場都是Hamilton向量場。給定C^∞（M）內(nèi)的兩個函數(shù)f與g，我們還可以定義Poisson括號如下：{f，g}=-ω（X_F，X_G)=i(X_F)dG=X_FG由此給出C^∞（M）