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1、拉格朗日中值定理引言眾所周至拉格朗日中值定理是幾個(gè)中值定理中最重要的一個(gè),是微分學(xué)應(yīng)用的橋梁,在高等數(shù)學(xué)的一些理論推導(dǎo)中起著很重要的作用.研究拉格朗日中值定理的證明方法,力求正確地理解和掌握它,是十分必要的.拉格朗日中值定理證明的關(guān)鍵在于引入適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù).實(shí)際上,能用來(lái)證明拉格朗日中值定理的輔助函數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè),因此如果以引入輔助函數(shù)的個(gè)數(shù)來(lái)計(jì)算,證明拉格朗日中值定理的方法可以說(shuō)有無(wú)數(shù)個(gè).但事實(shí)上若從思想方法上分,我們僅發(fā)現(xiàn)五種引入輔助函數(shù)的方法.首先對(duì)羅爾中值定理拉格朗日中值定理及其幾何意義作一概述.1羅爾中值定理如果函數(shù)滿足條件:在閉區(qū)間上連續(xù);在開(kāi)區(qū)
2、間內(nèi)可導(dǎo);(3),則在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得羅爾中值定理的幾何意義:如果連續(xù)光滑曲線在點(diǎn)處的縱坐標(biāo)相等,那么,在弧上至少有一點(diǎn),曲線在點(diǎn)的切線平行于軸,如圖1,注意定理中三個(gè)條件缺少其中任何一個(gè),定理的結(jié)論將不一定成立;但不能認(rèn)為定理?xiàng)l件不全具備,就一定不存在屬于的,使得.這就是說(shuō)定理的條件是充分的,但非必要的.2拉格朗日中值定理若函數(shù)滿足如下條件:在閉區(qū)間上連續(xù);在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo);則在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使拉格朗日中值定理的幾何意義:函數(shù)在區(qū)間上的圖形是連續(xù)光滑曲線弧8上至少有一點(diǎn),曲線在點(diǎn)的切線平行于弦.如圖2,從拉格朗日中值定理的條件與結(jié)論可見(jiàn),若在閉區(qū)間
3、兩端點(diǎn)的函數(shù)值相等,即,則拉格朗日中值定理就是羅爾中值定理.換句話說(shuō),羅爾中值定理是拉格朗日中值定理的一個(gè)特殊情形.正因?yàn)槿绱?,我們只須?duì)函數(shù)作適當(dāng)變形,便可借助羅爾中值定理導(dǎo)出拉格朗日中值定理.3證明拉格朗日中值定理3.1教材證法證明作輔助函數(shù)顯然,函數(shù)滿足在閉區(qū)間上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),而且.于是由羅爾中值定理知道,至少存在一點(diǎn),使.即.3.2用作差法引入輔助函數(shù)法證明作輔助函數(shù)顯然,函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),,因此,由羅爾中值定理得,至少存在一點(diǎn),使得,即推廣1如圖3過(guò)原點(diǎn)作∥,由與直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)之差構(gòu)成輔助函數(shù),因?yàn)橹本€的斜率與直線的斜
4、率相同,即有:,的直線方程為:,于是引入的輔助函數(shù)為:.(證明略)推廣2如圖4過(guò)點(diǎn)作直線∥,直線的方程為:,由與直線函數(shù)之差構(gòu)成輔助函數(shù),于是有:8.(證明略)推廣3如圖5過(guò)點(diǎn)作直線∥,直線的方程為,由與直線函數(shù)之差構(gòu)成輔助函數(shù),于是有:.事實(shí)上,可過(guò)軸上任已知點(diǎn)作∥得直線為,從而利用與直線的函數(shù)之差構(gòu)成滿足羅爾中值定理的輔助函數(shù)都可以用來(lái)證明拉格朗日中值定理.因是任意實(shí)數(shù),顯然,這樣的輔助函數(shù)有無(wú)多個(gè).3.3用對(duì)稱法引入輔助函數(shù)法在第二種方法中引入的無(wú)數(shù)個(gè)輔助函數(shù)中關(guān)于軸的對(duì)稱函數(shù)也有無(wú)數(shù)個(gè),顯然這些函數(shù)也都可以用來(lái)證明拉格朗日中值定理.從幾何意義上看
5、,上面的輔助函數(shù)是用曲線函數(shù)減去直線函數(shù),反過(guò)來(lái),用直線函數(shù)減曲線函數(shù),即可得與之對(duì)稱的輔助函數(shù)如下:⑴⑵8⑶⑷等等.這類(lèi)能用來(lái)證明拉格朗日中值定理的輔助函數(shù)顯然也有無(wú)數(shù)個(gè).這里僅以⑵為例給出拉格朗日中值定理的證明.證明顯然,函數(shù)滿足條件:在閉區(qū)間上連續(xù);在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo);.由羅爾中值定理知,至少存在一點(diǎn),使得,從而有,顯然可用其它輔助函數(shù)作類(lèi)似的證明.3.4轉(zhuǎn)軸法由拉格朗日中值定理的幾何圖形可以看出,若把坐標(biāo)系逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)慕嵌?,得新直角坐?biāo)系,若平行于弦,則在新的坐標(biāo)系下滿足羅爾中值定理,由此得拉格朗日中值定理的證明.證明作轉(zhuǎn)軸變換,,為求出,解出得
6、①②由得,從而,取滿足上式即可.由在閉區(qū)間上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),知在閉區(qū)間上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且,因此,由羅爾中值定理知,至少存在一點(diǎn),使得,即3.5用迭加法引入輔助函數(shù)法讓迭加一個(gè)含待頂系數(shù)的一次函數(shù),例如令或,通過(guò)使,確定出,即可得到所需的輔助函數(shù).8例如由,令得,從而,而可取任意實(shí)數(shù),這樣我們就得到了輔助函數(shù),由的任意性易知迭加法可構(gòu)造出無(wú)數(shù)個(gè)輔助函數(shù),這些函數(shù)都可用于證明拉格朗日中值定理.3.6用行列式引入輔助函數(shù)法證明構(gòu)造一個(gè)含且滿足羅爾中值定理的函數(shù),關(guān)鍵是滿足.我們從行列式的性質(zhì)想到行列式的值在時(shí)恰恰均為0,因此可設(shè)易證,展開(kāi)得.因?yàn)?/p>
7、在閉區(qū)間上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),所以在閉區(qū)間上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且,所以由羅爾中值定理知,至少存在一點(diǎn),使得.因?yàn)榧矗?.7數(shù)形相結(jié)合法引理在平面直角坐標(biāo)系中,已知三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,,,則面積為,這一引理的證明在這里我們不做介紹,下面我們利用這一引理對(duì)拉格朗日中值定理作出一種新的證明.這種方法是將數(shù)形相結(jié)合,考慮實(shí)際背景刻意構(gòu)造函數(shù)使之滿足羅爾中值定理的條件.如圖,設(shè)是直線與從點(diǎn)開(kāi)始的第一個(gè)交點(diǎn),則構(gòu)造,8易驗(yàn)證滿足羅爾中值定理的條件:在閉區(qū)間上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),而且,則至少存在一點(diǎn),使,即:但是,這是因?yàn)?,如果,則,這樣使得成為直線與從點(diǎn)的
8、第一個(gè)交點(diǎn),與已知矛盾).故,即.若只從滿足羅爾中值定理的要求出發(fā),我們可以擯棄