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《歐幾里得算法在歷史上的不同呈現(xiàn)》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、歐幾里得算法在歷史上的不同呈現(xiàn)二國(guó)外的歐幾里得算法2.1幾何原本中的歐幾里得算法2.11歐幾里得和他的幾何原本歐幾里得（Eudides或Eucleides，公元前三百年前后），是希臘數(shù)學(xué)家。歐幾里得的《幾何原本》是一部劃時(shí)代的著作。中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的最大特點(diǎn)是以算為中心，沒有形成如同古希臘數(shù)學(xué)那樣的公理化體系?！稁缀卧尽烽_創(chuàng)了數(shù)學(xué)公理化的正確道路，促進(jìn)了整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展?！稁缀卧尽啡珪灿墒斫M成，第一卷到第六卷為平面幾何學(xué)，它是由徐光啟，利瑪竇在1607年共同譯完，明末傳入我國(guó)，補(bǔ)救我國(guó)數(shù)學(xué)研究中的不足。第七卷到第十卷為數(shù)論，但與中算不同的是，全用幾
2、何方式來敘述。其中第Ⅶ卷命題Ⅰ就是用幾何方式來敘述歐幾里得算法。第十一卷到第十三卷為立體幾何學(xué)。早在半個(gè)世紀(jì)以前，日本數(shù)學(xué)家小倉(cāng)金之助把《九章算術(shù)》與《幾何原本》進(jìn)行比較，他認(rèn)為《九章算術(shù)》是“中國(guó)的歐幾里得”，作為東西方數(shù)學(xué)的代表作，《九章算術(shù)》與《幾何原本》在數(shù)學(xué)發(fā)展史上的產(chǎn)生和流傳有相似之處。歐幾里得算法來源于《幾何原本》，但歐幾里得算法中算法思想?yún)s與古印度，日本，意大利，德國(guó)，以及我國(guó)古代現(xiàn)代許多數(shù)學(xué)研究一致。2.12歐幾里得算法《幾何原本》第Ⅶ卷命題Ⅰ中原文如下“26設(shè)有不相等的二數(shù)，若依次從大數(shù)中不斷地減去小數(shù)，若余數(shù)總是量不盡它前面的一個(gè)
3、數(shù)，直到最后的余數(shù)為一個(gè)單位，則該二數(shù)互素”。命題二中“已知兩個(gè)不互素的數(shù)，求它們的最大公度數(shù)。術(shù)文如下設(shè)AB,CD是不互素的兩數(shù)，求AB,CD的最大公度數(shù)。如果CD量盡AB，那么它也能量盡它自己，那么CD就是CD,AB的最大公度數(shù)。且顯然CD也是最大公度數(shù)，這是因?yàn)闆]有比CD大的數(shù)能量盡CD，但是，如果CD量不盡AB，那么從AB,CD中的較大者中不斷地減去較小者，如此，將有某個(gè)余數(shù)能量盡它前面的一個(gè)。這最后的余數(shù)不是一個(gè)單位，否則AB,CD就是互素的?！?.2印度的不定方程組問題一次不定分析在中國(guó)，印度，古希臘數(shù)學(xué)中多有研究，特別是對(duì)印度數(shù)學(xué)家來說是
4、非常重要的。他們非常重視一次不定分析的研究，曾一度用它來代表這門學(xué)科。26262.3日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和的敘述26據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)考證，日本數(shù)學(xué)發(fā)展是從錢明天皇時(shí)代開始的，歷史記載公元554年百濟(jì)有歷法博士到日本傳授歷法。602年又有和尚關(guān)勒到日本傳授天文知識(shí)。說明我國(guó)數(shù)學(xué)天文成果以朝鮮為跳板在公元六世紀(jì)已經(jīng)傳入日本。日本數(shù)學(xué)在發(fā)展中逐漸形成獨(dú)特的體系，稱為和算。日本被譽(yù)為和算之圣的數(shù)學(xué)家關(guān)孝和是數(shù)學(xué)家毛利的再傳弟子。關(guān)孝和在解同余式問題中所擬題及其解法是深透的，特別是他的剩一術(shù)對(duì)秦九韶大衍求一術(shù)中劃一程序的解釋比黃宗憲要早一百多年。2.31關(guān)孝和解同余式19x
5、=1(mod27)關(guān)孝和用漢文寫的《括要算法》卷二有剩一術(shù)，是用更想減損的方法計(jì)算同余式ax=1(modb)的解。原文如下“今有以左一十九累加之得數(shù)，以右二十七累減之，剩一，問左總數(shù)幾何？答：左總數(shù)190。”可以看出上文是解同余式19x=1(mod27)的問題。關(guān)孝和在解題術(shù)文中所說的解題程序如下“以左一十九，除右二十七，得商一，不盡（余數(shù)）八為甲。以甲不盡八，除左一十九，得商二，不盡三，為乙。以乙不盡三除甲，不盡八，得商二，不盡三，為丙。以丙不盡二除乙，不盡三，得商一，不盡一，為丁，乃余一而止?！鞭D(zhuǎn)換成圖示為26緊接著還有四句術(shù)文如下“甲商與乙商相因
6、，加定一，得三為子。子與丙商相因，加甲商，得七為丑。丑與丁商相因，加子，得一十。以左一十九乘之，得左總數(shù)一百九十，合問。”轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言為2.32關(guān)孝和解同余式組關(guān)孝和對(duì)解同余式組問題也作了深入研究。在括要算法》卷二“剪管術(shù)”中自擬輔助題“今有物不知其數(shù)，只云﹕五除余一個(gè)，七除余二個(gè)，問總數(shù)幾何。”答數(shù)為十六個(gè)。這就是解同余式組關(guān)孝和作出術(shù)文﹕“五余以二十一乘得二十一個(gè)，七余以十五乘得三十個(gè)。二位相并，共得五十一個(gè)，滿三十五去之，余一十六個(gè)?！?.32《大成算經(jīng)》之零約術(shù)26關(guān)孝和的學(xué)生建部賢明在《大成算經(jīng)》卷六中所講的零約術(shù)如下乘數(shù)三個(gè)零八厘六毛六絲
7、一忽四微二弱，問約率幾何？答：乘率三百九十二，除率一百一十七。此題術(shù)文用圖示表示為由上述圖示可知，日本學(xué)者當(dāng)時(shí)是用類似于中國(guó)的更相減損術(shù)來獲得結(jié)果的。與世界有名的歐幾里得算法在算理上是一致的?！洞蟪伤憬?jīng)》卷十二圓周率以π=3.141592653589793238462463二十五個(gè)有效數(shù)字為基準(zhǔn)，用更相減損術(shù)求得十二個(gè)等率26后來建部賢明的弟弟建部賢弘著《不休綴術(shù)》一書，把《大成算經(jīng)》上述方法及其結(jié)果再次抄錄，并說他們之所以用這種方法來計(jì)算漸進(jìn)分?jǐn)?shù)是厭煩其術(shù)，而且把載有這種方法的著作以祖沖之失傳之書綴術(shù)命名，這就是說建部賢弘猜測(cè)祖沖之是用連分?jǐn)?shù)法從小數(shù)
8、近似值得出分?jǐn)?shù)表達(dá)的?！洞蟪伤憬?jīng)》出版后，日本學(xué)者用更相減損術(shù)求漸進(jìn)分?jǐn)?shù)就比較普遍了。例如會(huì)田
