求矩陣特征值和特征向量課件1

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1、求矩陣特征值和特征向量的方法本章探討求矩陣特征值及特征向量的常用數(shù)值方法的構(gòu)造和原理，主要介紹在計(jì)算機(jī)上常用的求矩陣特征值和特征向量的的常用方法和有關(guān)知識(shí)。重點(diǎn)論述冪法的構(gòu)造內(nèi)容。6.1實(shí)際案例旅游地選擇問題通過層次分析法可以轉(zhuǎn)化為求成對(duì)比較矩陣的絕對(duì)值最大的特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量的問題。求矩陣的特征值及特征向量的問題在實(shí)際的科研和工程問題中經(jīng)常遇到，在這些問題中解出矩陣（特別是高階矩陣）特征值或特征向量成為解決問題的關(guān)鍵。求矩陣的特征值及特征向量的計(jì)算機(jī)解法也稱為代數(shù)特征問題的計(jì)算方法。6.2問題的描述與基本概念定義6

2、.1設(shè)矩陣，稱關(guān)于變量的行列式函數(shù)為矩陣A的特征多項(xiàng)式，稱方程為特征方程。定義6.2若存在某個(gè)實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)及非零向量滿足，則稱是矩陣A的一個(gè)特征值，而稱為對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量。是關(guān)于的n次多項(xiàng)式，矩陣A的特征值就是的零點(diǎn)。在線性代數(shù)中，有求解矩陣A的特征值和特征向量的解法，該解法理論很嚴(yán)密，但由于將特征多項(xiàng)式化為一個(gè)n次多項(xiàng)式很復(fù)雜且特征方程對(duì)舍入誤差很敏感，特別當(dāng)n較大時(shí)，這些問題更突出。由于這些原因，實(shí)用中在求解代數(shù)特征值問題時(shí)一般不用如上的線性代數(shù)的方法，而采用本章介紹的迭代加變換的計(jì)算機(jī)求解方法，這些方法具有編程簡單，

3、對(duì)舍入誤差不敏感等優(yōu)點(diǎn)。6.3冪法冪法---把最大特征值直接從矩陣乘出來！冪法是求矩陣按模最大的特征值及其相應(yīng)特征向量的方法?；舅枷肜镁仃嚨奶卣髦蹬c特征向量的關(guān)系構(gòu)造迭代向量序列來求矩陣按模最大的特征值及其相應(yīng)特征向量。1、構(gòu)造原理設(shè)方陣,是A的n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，其對(duì)應(yīng)的特征值為，任取一個(gè)非零向量,則有用A左乘，并利用有記，可得假設(shè)，，因?yàn)?有令V(k)的第i個(gè)分量為，考慮分量比，有當(dāng)k充分大時(shí)，有，是對(duì)應(yīng)的一個(gè)近似特征向量。用如上求矩陣按模最大的近似特征值及其相應(yīng)特征向量的方法稱為冪法。2.分析當(dāng)時(shí)，導(dǎo)致的計(jì)算

4、出現(xiàn)上益錯(cuò)誤。定理設(shè)方陣，是A的n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，是對(duì)應(yīng)的特征值，任取一個(gè)非零向量,按構(gòu)造規(guī)范化向量序列，其中表示的絕對(duì)值最大的分量，則有證明由式（6.3）有一般的有記，由，有，再由有利用定理可以寫出規(guī)范化冪法算法1.輸入矩陣A、初始向量，誤差eps，實(shí)用中一般取；2.kü13.計(jì)算V(k)üAu(k-1)4.mkümax(V(k)),mk-1ümax(V(k-1))5.u(k)üV(k)/mk6.如果

5、mk-mk-1

6、

7、滿足怎樣用冪法求按模最小的特征值及相應(yīng)特征向量？設(shè)特征值為對(duì)應(yīng)的特征向量為，有因?yàn)锳的n個(gè)特征值都不為零，故A可逆，有這說明是A-1特征值，x(k)是對(duì)應(yīng)的特征向量。由，有于是，求A按模最小的特征值相當(dāng)于求A-1按模最大的特征值，此時(shí)，只要將冪法中的A換為A-1即可。用冪法求出A-1按模最大的特征值后取其倒數(shù)就得到A按模最小的特征值，相應(yīng)特征向量不變。用如上方法求矩陣按模最小的特征值及其相應(yīng)特征向量的稱為反冪法。由于求逆是很費(fèi)時(shí)的，在反冪法迭代公式V(k)=A-1u(k-1)常用解線性方程組AV(k)=u(k-1)的方法求

8、得V(k)。數(shù)值實(shí)驗(yàn)案例編寫冪法的通用程序，并用該程序求矩陣按模最大的特征值及其特征向量，要求誤差<10-4。觀察選擇不同初值計(jì)算的結(jié)果。冪法規(guī)范化算法1.輸入矩陣A、初始向量u(0)，誤差eps2.kü13.計(jì)算V(k)üAu(k-1)4.mkümax(V(k)),mk-1ümax(V(k-1))5.uküV(k)/mk6.如果

9、mk-mk-1

10、

11、迭代向量u(0)="];n=Length[u];eps=Input["誤差精度eps="];nmax=Input[“迭代允許最大次數(shù)nmax=”];fmax[x_]:=Module[{m=0,m1,m2},Do[m1=Abs[x[[k]]];If[m1>m,m2=x[[k]];m=m1],{k,1,Length[x]}];m2]v=a.u;m0=fmax[u];m1=fmax[v];t=Abs[m1-m0]//N;k=0;While[t>eps&&k

12、x[v];t=Abs[m1-m0]//N；Print["k=",k,"特征值=",N[m1,10],"誤差=",N[t,10]];Print["特征向量=",N[u,10]]];If[k>=nmax,Print["迭代超限"]]說明：本程序用于求矩陣A按模最大的特征值及其相應(yīng)特征向量。程序執(zhí)行后，先通過