矩陣環(huán)的單側(cè)理想

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1、本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)、創(chuàng)作）題　　目：　　　矩陣環(huán)的單側(cè)理想　　學(xué)生姓名：　馮兆東　學(xué)號(hào)：　A00914178院（系）：　數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院　專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)入學(xué)時(shí)間：二○○九年　九月導(dǎo)師姓名：　葛茂榮職稱/學(xué)位：副教授　導(dǎo)師所在單位：　數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院　　　完成時(shí)間：二○一三年　　六　月矩陣環(huán)的單側(cè)理想摘要本文將證明:若是一個(gè)單環(huán),則是單環(huán);若是一個(gè)有單位元的環(huán)，則一定是單環(huán),并給出了主理想環(huán)上的矩陣環(huán)的全部理想的形式以及上三角形矩陣環(huán)一類理想的構(gòu)造方法.討論了實(shí)數(shù)域上矩陣環(huán)中的單側(cè)理想、偽理想、雙邊理想,給出了它們的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。關(guān)鍵詞：矩陣環(huán)；單環(huán)

2、；理想；偽理想;雙邊理想TheonesideidealofmatrixringAbstractThepaperprovedthatRissingleringifissinglering,issingleringifRissinglering,gaveallidealformofmatrixringwithchiefidealIandanstructuralmethodofallidealofuppertriangularmatrix.Inthispaper,onesideideal,Pseudoidealsandidealsinmatricer

3、ingonrealnumberfieldarediscussed,thestructureandcharactersisgiven.Keywords:matrixring;singlering;ideal;Pseudoideal;ideal目錄第一章前言11.1矩陣?yán)碚摰陌l(fā)展史11.2引言11.3矩陣環(huán)的定義2第二章矩陣環(huán)22.1單環(huán)22.2單環(huán)與有單位元的環(huán)的關(guān)系4第三章矩陣環(huán)的理想形式43.1主理想環(huán)上的矩陣環(huán)的理想43.2n階上三角矩陣環(huán)的一類理想的構(gòu)造方法4第四章矩陣環(huán)中的單側(cè)理想64.1單側(cè)理想及偽理想64.2雙邊理想8主要參考文獻(xiàn)1

4、0致謝11第一章前言1.1矩陣?yán)碚摰陌l(fā)展史根據(jù)世界數(shù)學(xué)發(fā)展史記載，矩陣概念產(chǎn)生于19世紀(jì)50年代，是為了解線性方程組的需要而產(chǎn)生的。然而，在公元前我國(guó)就已經(jīng)有了矩陣的萌芽。在我國(guó)的《九章算術(shù)》一書中已經(jīng)有所描述，只是沒有將它作為一個(gè)獨(dú)立的概念加以研究，而僅用它解決實(shí)際問題，所以沒能形成獨(dú)立的矩陣?yán)碚摗?850年，英國(guó)數(shù)學(xué)家西爾維斯特(SylveSter，1814--1897)在研究方程的個(gè)數(shù)與未知量的個(gè)數(shù)不相同的線性方程組時(shí)，由于無(wú)法使用行列式，所以引入了矩陣的概念。1855年，英國(guó)數(shù)學(xué)家凱萊(Caylag，1821--1895)在研究線性變換

5、下的不變量時(shí)，為了簡(jiǎn)潔、方便，引入了矩陣的概念。1858年，凱萊在《矩陣論的研究報(bào)告》中，定義了兩個(gè)矩陣相等、相加以及數(shù)與矩陣的數(shù)乘等運(yùn)算和算律，同時(shí)，定義了零矩陣、單位陣等特殊矩陣，更重要的是在該文中他給出了矩陣相乘、矩陣可逆等概念，以及利用伴隨陣求逆陣的方法，證明了有關(guān)的算律，如矩陣乘法有結(jié)合律，沒有交換律，兩個(gè)非零陣乘積可以為零矩陣等結(jié)論，定義了轉(zhuǎn)置陣、對(duì)稱陣、反對(duì)稱陣等概念。1878年，德國(guó)數(shù)學(xué)家弗羅伯紐斯(Frobeniws，1849一1917)在他的論文中引入了矩陣的行列式因子、不變因子和初等因子等概念，證明了兩個(gè)矩陣等價(jià)當(dāng)且僅當(dāng)它

6、們有相同的不變因子和初等因子，同時(shí)給出了正交矩陣的定義,1879年，他又在自己的論文中引進(jìn)矩陣秩的概念.矩陣的理論發(fā)展非常迅速，到19世紀(jì)末，矩陣?yán)碚擉w系已基本形成。到20世紀(jì)，矩陣?yán)碚摰玫搅诉M(jìn)一步的發(fā)展。目前，它己經(jīng)發(fā)展成為在物理、控制論、機(jī)器人學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科有大量應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。1.2引言我們知道，域上的線性空間是定義了加法與乘法運(yùn)算的一種代數(shù)系統(tǒng)。除以上兩種運(yùn)算外，如果還定義了一個(gè)乘法運(yùn)算，并且滿足分配律與結(jié)合律，稱這樣的代數(shù)系統(tǒng)是一個(gè)結(jié)合代數(shù)，簡(jiǎn)稱是一個(gè)代數(shù)。實(shí)數(shù)域上的全陣環(huán)中的理想只有平凡理想.本文來(lái)討論其中的廣義理想.本文

7、中的一切記號(hào)見[2],特別是文中反復(fù)使用的表示第行第列的元素為1,其余元素為0的階方陣,左理想和右理想的概念見[1].1.2.1理想的定義定義1.2.1[2]：非空子集稱為代數(shù)的一個(gè)理想，如果對(duì)加法和數(shù)乘運(yùn)算封閉；12對(duì)，一切形如及的元素的有限和都屬于。注：如果把改為一切形如的元素的有限和都屬于，稱為代數(shù)的一個(gè)左理想，類似定義的右理想，把左理想（或右理想）稱為單側(cè)理想。設(shè)是數(shù)域，是上矩陣的全體，上定義了三種運(yùn)算：矩陣加法，數(shù)乘矩陣，矩陣乘法，因此，不僅是一個(gè)維的線性空間，還是上的一個(gè)有限（維）結(jié)合代數(shù)。本文的目的是刻畫出的所有單側(cè)理想。定義1.

8、2.2:環(huán)的理想叫做一個(gè)極大理想，如果并且對(duì)于的每一個(gè)理想，或。1.3矩陣環(huán)的定義定義1.3.1[2]：設(shè)是環(huán)，上一切階方陣關(guān)于矩陣的加法和乘法形成一