多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

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1、高等數(shù)學(xué)教案第八章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用第八章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用教學(xué)目的：1、理解多元函數(shù)的概念和二元函數(shù)的幾何意義。2、了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，以及有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。3、理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，會(huì)求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性。4、理解方向?qū)?shù)與梯度的概念并掌握其計(jì)算方法。5、掌握多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法。6、會(huì)求隱函數(shù)（包括由方程組確定的隱函數(shù)）的偏導(dǎo)數(shù)。7、了解曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會(huì)求它們的方程。8、了解二元函

2、數(shù)的二階泰勒公式。9、理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會(huì)求二元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格郎日乘數(shù)法求條件極值，會(huì)求簡(jiǎn)多元函數(shù)的最大值和最小值，并會(huì)解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題。教學(xué)重點(diǎn)：1、二元函數(shù)的極限與連續(xù)性；2、函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分；3、方向?qū)?shù)與梯度的概念及其計(jì)算；4、多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)；5、隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)6、曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線；7、多元函數(shù)極值和條件極值的求法。教學(xué)難點(diǎn)：1、二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念；2、全微分形式的不變性；3、

3、復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法；4、二元函數(shù)的二階泰勒公式；5、隱函數(shù)（包括由方程組確定的隱函數(shù)）的偏導(dǎo)數(shù)；6、拉格郎日乘數(shù)法；7、多元函數(shù)的最大值和最小值。青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第八章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用§8.1多元函數(shù)的基本概念一、教學(xué)目的與要求1．理解多元函數(shù)的概念。2．了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念。3．了解有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。4．會(huì)求簡(jiǎn)單的多元函數(shù)的極限。二、重點(diǎn)（難點(diǎn)）：多元函數(shù)的極限三、主要外語(yǔ)詞匯：Diversefunction，district，Twoheavyext

4、remelimits。四、輔助教學(xué)情況：多媒體課件第四版和第五版（修改）五、參考教材（資料）：同濟(jì)大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》第五版青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第八章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用一、平面點(diǎn)集n維空間1．平面點(diǎn)集由平面解析幾何知道,當(dāng)在平面上引入了一個(gè)直角坐標(biāo)系后,平面上的點(diǎn)P與有序二元實(shí)數(shù)組(x,y)之間就建立了一一對(duì)應(yīng).于是,我們常把有序?qū)崝?shù)組(x,y)與平面上的點(diǎn)P視作是等同的.這種建立了坐標(biāo)系的平面稱為坐標(biāo)平面.二元的序?qū)崝?shù)組(x,y)的全體,即R2=R′R={(x,y)

5、x,y?R}就表

6、示坐標(biāo)平面.坐標(biāo)平面上具有某種性質(zhì)P的點(diǎn)的集合,稱為平面點(diǎn)集,記作E={(x,y)

7、(x,y)具有性質(zhì)P}.例如,平面上以原點(diǎn)為中心、r為半徑的圓內(nèi)所有點(diǎn)的集合是C={(x,y)

8、x2+y2

9、OP

10、表示點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離,那么集合C可表成C={P

11、

12、OP

13、

14、點(diǎn)P0(x0,y0)為中心、d>0為半徑的圓的內(nèi)部的點(diǎn)P(x,y)的全體.點(diǎn)P0的去心d鄰域,記作,即.注:如果不需要強(qiáng)調(diào)鄰域的半徑d,則用U(P0)表示點(diǎn)P0的某個(gè)鄰域,點(diǎn)P0的去心鄰域記作.點(diǎn)與點(diǎn)集之間的關(guān)系:任意一點(diǎn)P?R2與任意一個(gè)點(diǎn)集EìR2之間必有以下三種關(guān)系中的一種:(1)內(nèi)點(diǎn):如果存在點(diǎn)P的某一鄰域U(P),使得U(P)ìE,則稱P為E的內(nèi)點(diǎn);(2)外點(diǎn):如果存在點(diǎn)P的某個(gè)鄰域U(P),使得U(P)?E=?,則稱P為E的外點(diǎn);(3)邊界點(diǎn):如果點(diǎn)P的任一鄰域內(nèi)既有屬于E的點(diǎn),也有不屬于E的點(diǎn),則稱P

15、點(diǎn)為E的邊點(diǎn).E的邊界點(diǎn)的全體,稱為E的邊界,記作?E.E的內(nèi)點(diǎn)必屬于E;E的外點(diǎn)必定不屬于E;而E的邊界點(diǎn)可能屬于E,也可能不屬于E.聚點(diǎn):如果對(duì)于任意給定的d>0,點(diǎn)P的去心鄰域內(nèi)總有E中的點(diǎn),則稱P是E的聚點(diǎn).青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第八章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用由聚點(diǎn)的定義可知,點(diǎn)集E的聚點(diǎn)P本身,可以屬于E,也可能不屬于E.例如,設(shè)平面點(diǎn)集E={(x,y)

16、1

17、,它們都不屬于E;滿足x2+y2=2的一切點(diǎn)(x,y)也是E的邊界點(diǎn),它們都屬于E;點(diǎn)集E以及它的界邊?E上的一切點(diǎn)都是E的聚點(diǎn).開(kāi)集:如果點(diǎn)集E的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn),則稱E為開(kāi)集.閉集:如果點(diǎn)集的余集Ec為開(kāi)集,則稱E為閉集.開(kāi)集的例子:E={(x,y)

18、1

19、1￡x2+y2￡2}.集合{(x,y)

20、1