一輪復習配套講義：第2篇 第1講 函數(shù)的概念及其表示

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1、第1講　函數(shù)的概念及其表示[最新考綱]1．了解構成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域，了解映射的概念．2．在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)．3．了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單地應用.知識梳理1．函數(shù)的基本概念(1)函數(shù)的定義一般地，設A，B是兩個非空數(shù)集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)與之對應；那么就稱：f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)．記作y＝f(x)，x∈A.(2)函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義

2、域；與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域．(3)函數(shù)的三要素是：定義域、值域和對應關系．(4)表示函數(shù)的常用方法有：解析法、列表法和圖象法．(5)分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因對應關系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集，分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù)．2．函數(shù)定義域的求法類型x滿足的條件，n∈N*f(x)≥0與[f(x)]0f(x)≠0logaf(x)f(x)＞0四則運算組成的函數(shù)各個函數(shù)定義域的交集實際問題使實際問題有意義3．函數(shù)值域的

3、求法方法示例示例答案配方法y＝x2＋x－2y∈性質法y＝exy∈(0，＋∞)單調性法y＝x＋y∈[2，＋∞)換元法y＝sin2x＋sinx＋1y∈分離常數(shù)法y＝y(tǒng)∈(－∞，1)∪(1，＋∞)辨析感悟1．對函數(shù)概念的理解．(1)(教材習題改編)如圖：以x為自變量的函數(shù)的圖象為②④.(√)(2)函數(shù)y＝1與y＝x0是同一函數(shù)．(×)2．函數(shù)的定義域、值域的求法(3)(2013·江西卷改編)函數(shù)y＝ln(1－x)的定義域為(0,1)．(×)(4)(2014·杭州月考改編)函數(shù)f(x)＝的值域為(0,1]．(√)3．分段函數(shù)求值(5)(2013·濟南模擬改編)設函數(shù)f(x)＝則f(f(3

4、))＝.(√)學生用書第10頁(6)(2014·浙江部分重點中學調研改編)函數(shù)f(x)＝若f(a)＝，則實數(shù)a的值為或－2.(√)4．函數(shù)解析式的求法(7)已知f(x)＝2x2＋x－1，則f(x＋1)＝2x2＋5x＋2.(√)(8)已知f(－1)＝x，則f(x)＝(x＋1)2.(×)[感悟·提升]1．一個方法　判斷兩個函數(shù)是否為相同函數(shù)．一是定義域是否相同，二是對應關系即解析式是否相同(注意解析式可以等價化簡)，如(2)．2．三個防范　一是求函數(shù)的定義域要使給出解析式的各個部分都有意義，如(3)；二是分段函數(shù)求值時，一定要分段討論，注意驗證結果是否在自變量的取值范圍內，如(6)

5、；三是用換元法求函數(shù)解析式時，一定要注意換元后的范圍，如(8).考點一　求函數(shù)的定義域與值域【例1】(1)(2013·山東卷)函數(shù)f(x)＝＋的定義域為(　　)．A．(－3,0]B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪(－3,0]D．(－∞，－3)∪(－3,1](2)函數(shù)y＝的值域為________．解析　(1)由題意解得－3＜x≤0.(2)y＝＝＝1－，因為≠0，所以1－≠1.即函數(shù)的值域是{y

6、y≠1}．答案　(1)A　(2){y

7、y≠1}規(guī)律方法(1)求函數(shù)的定義域，其實質就是以函數(shù)解析式有意義為準則，列出不等式或不等式組，然后求出它們的解集即可．(2)求函數(shù)的值域：①當所給函

8、數(shù)是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考慮用分離常數(shù)法；②若與二次函數(shù)有關，可用配方法；③當函數(shù)的圖象易畫出時，可以借助于圖象求解．【訓練1】(1)函數(shù)y＝ln＋的定義域為________．(2)函數(shù)f(x)＝的值域為________．解析　(1)根據(jù)題意可知，??0＜x≤1，故定義域為(0,1]．(2)當x≥1時，logx≤0；當x＜1時，0＜2x＜2，故值域為(0,2)∪(－∞，0]＝(－∞，2)．答案　(1)(0,1]　(2)(－∞，2)考點二　分段函數(shù)及其應用【例2】(1)(2014·東北三校聯(lián)考)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＝，則f(3)的值為(　　)．A．－

9、1B．－2C．1D．2(2)已知實數(shù)a≠0，函數(shù)f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，則a的值為________．解析　(1)依題意，3＞0，得f(3)＝f(3－1)－f(3－2)＝f(2)－f(1)，又2＞0，所以f(2)＝f(2－1)－f(2－2)＝f(1)－f(0)；所以f(3)＝f(1)－f(0)－f(1)＝－f(0)，又f(0)＝log2(4－0)＝2，所以f(3)＝－f(0)＝－2.(2)當a＞0時，1－a＜1,1＋a＞1.此時f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a