蒙特卡羅方法及其應(yīng)用

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1、生物統(tǒng)計(jì)自選作業(yè)90701110周天航北京大學(xué)醫(yī)學(xué)部生物統(tǒng)計(jì)08年自選作業(yè)蒙特卡羅方法及其應(yīng)用基礎(chǔ)醫(yī)學(xué)院臨床醫(yī)學(xué)八年制90701110周天航90701110周天航2008-12-1612/12生物統(tǒng)計(jì)自選作業(yè)90701110周天航【標(biāo)題】蒙特卡羅方法及其應(yīng)用【摘要】蒙特卡羅方法是一種隨即抽樣方法，建立一個與求解有關(guān)的概率模型或隨即現(xiàn)象來求得所要研究的問題的解。這種利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行模擬的抽樣方法以其精度高，受限少等優(yōu)點(diǎn)廣泛應(yīng)用于數(shù)理計(jì)算，工程技術(shù)，醫(yī)藥衛(wèi)生等領(lǐng)域。本文介紹蒙特卡羅方法的簡要內(nèi)容，起源，基本思路及應(yīng)用優(yōu)點(diǎn)，并簡要介紹了一些蒙塔卡羅方法在相關(guān)醫(yī)學(xué)方面的應(yīng)

2、用，并提出了一些今后發(fā)展與應(yīng)用上的展望?！娟P(guān)鍵詞】蒙特卡羅方法基本內(nèi)容應(yīng)用展望【正文】一蒙特卡羅方法簡介1概述蒙特卡羅(MonteCarlo)方法,又稱隨機(jī)抽樣法，統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)法或隨機(jī)模擬法。是一種用計(jì)算機(jī)模擬隨機(jī)現(xiàn)象,通過仿真試驗(yàn),得到實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),再進(jìn)行分析推斷,得到某些現(xiàn)象的規(guī)律或某些問題的求解的方法。蒙特卡羅方法的基本思想是,為了求解數(shù)學(xué)、物理、工程技術(shù)或生產(chǎn)管理等方面的問題,首先建立一個與求解有關(guān)的概率模型或隨機(jī)過程,使它的參數(shù)等于所求問題的解,然后通過對模型或過程的觀察或抽樣試驗(yàn)來計(jì)算所求參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征,最后給出所求解的近似值。概率統(tǒng)計(jì)是蒙特卡羅方法的理論基

3、礎(chǔ),其手段是隨機(jī)抽樣或隨機(jī)變量抽樣。對于那些難以進(jìn)行的或條件不滿足的試驗(yàn)而言,是一種極好的替代方法。蒙特卡羅方法能夠比較逼真地描述事物的特點(diǎn)及物理實(shí)驗(yàn)過程，解決一些數(shù)值方法難以解決的問題，很少受幾何條件限制，收斂速度與問題的維數(shù)無關(guān)?！?】例如在許多工程、通訊、金融等技術(shù)問題中,所研究的控制過程往往不可避免地伴有隨機(jī)因素,若要從理論上很好地揭示實(shí)際規(guī)律,必須把這些因素考慮進(jìn)去。理想化的方法是在相同條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn),采集試驗(yàn)數(shù)據(jù),再對數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,得出其規(guī)律。但是這樣需要耗費(fèi)大量的人力、物力、財(cái)力,尤其當(dāng)一個試驗(yàn)周期很長,或是一個破壞性的試驗(yàn)時,通過試驗(yàn)

4、采集數(shù)據(jù)幾乎無法進(jìn)行,此時蒙特卡羅方法就是最簡單、經(jīng)濟(jì)、實(shí)用的方法。因此它廣泛應(yīng)用在粒子輸運(yùn)問題，統(tǒng)計(jì)物理，典型數(shù)學(xué)問題，真空技術(shù)，激光技術(shù)以及醫(yī)學(xué)，生物，探礦等方面?！?】蒙特卡羅方法研究的問題大致可分為兩種類型,一種是問題本身是隨機(jī)的;另一種本身屬于確定性問題,但可以建立它的解與特定隨機(jī)變量或隨機(jī)過程的數(shù)字特征或分布函數(shù)之間的聯(lián)系,因而也可用隨機(jī)模擬方法解決,如計(jì)算多重積分,求解積分方程、微分方程、非線性方程組,求矩陣的逆等。【3】2起源【1】蒙特卡羅方法的起源可以追溯到18世紀(jì)著名的蒲豐問題,1777年,法國科學(xué)家蒲豐(Buffon)提出用投針試驗(yàn)計(jì)算圓周

5、率π值的問題。2.1蒲豐問題12/12生物統(tǒng)計(jì)自選作業(yè)90701110周天航蒲豐問題是一個古典概率問題,在平面上有彼此相距為2a的平行線,向平面任意投一長度為2l的針,假定l

6、大量的試驗(yàn),這在實(shí)際中,往往難以做到。所以,在現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)出現(xiàn)之前,用頻率近似概率的方法—抑或稱為雛形時代的蒙特卡羅方法—并沒有得到實(shí)質(zhì)上的應(yīng)用。2.2蒙特卡羅方法與蒲豐問題隨著計(jì)算機(jī)和計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展,可以非常方便地利用計(jì)算機(jī)模擬隨機(jī)實(shí)驗(yàn)。用數(shù)值模擬方法代替上述真正的投針實(shí)驗(yàn),是利用均勻分布于(0,1)之間的隨機(jī)數(shù)序列,并構(gòu)造出隨機(jī)投針的數(shù)學(xué)模型,然后進(jìn)行大量的隨機(jī)統(tǒng)計(jì)并求得到π的近似值。如圖1建立坐標(biāo)系,平面上一根針的位置可以用針中心Ml的坐標(biāo)x和針與平行線的夾角θ來決定,在y方向上的位置不影響相交性質(zhì),任意投針,意味著x與θ都是任意取的.但θ的范圍可

7、限于[0,π],x的范圍可限于[0,a],在這種情況下,針與平行線相交的數(shù)學(xué)條件是其次,怎樣模擬投針呢?亦即如何產(chǎn)生任意的[x,θ],x在[0,a]任意取值,意味著x在[0,a]上取哪一點(diǎn)的概率都一樣,即x的概率密度函數(shù)為12/12生物統(tǒng)計(jì)自選作業(yè)90701110周天航由此,產(chǎn)生任意(x,θ)的過程就變?yōu)橛蒮1(x)抽樣x,由f2(θ)抽樣θ的過程,容易得到式中,ξ1,ξ2均為(0,1)上均勻分布的隨機(jī)數(shù),只要隨機(jī)數(shù)的均勻性和獨(dú)立性良好,如此構(gòu)造的數(shù)值模型就很好地模擬了實(shí)際試驗(yàn)中的一次投針,并用下式判斷是否相交且記錄統(tǒng)計(jì)結(jié)果:是相交幾率p的估計(jì)值,這樣就實(shí)現(xiàn)了用

8、數(shù)值方法模擬真正投針實(shí)驗(yàn)