橢圓典型題型歸納

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1、橢圓典型題型歸納題型一.定義及其應(yīng)用例1.已知一個(gè)動(dòng)圓與圓相內(nèi)切，且過(guò)點(diǎn)，求這個(gè)動(dòng)圓圓心的軌跡方程；例2.方程所表示的曲線(xiàn)是練習(xí)：1.方程對(duì)應(yīng)的圖形是（）A.直線(xiàn)B.線(xiàn)段C.橢圓D.圓2.方程對(duì)應(yīng)的圖形是（）A.直線(xiàn)B.線(xiàn)段C.橢圓D.圓3.方程成立的充要條件是（）A.B.C.D.4.如果方程表示橢圓，則的取值范圍是5.過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，則兩點(diǎn)與橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的的周長(zhǎng)等于；6.設(shè)圓的圓心為，是圓內(nèi)一定點(diǎn)，為圓周上任意一點(diǎn)，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與的連線(xiàn)交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為；題型二.橢圓的方程（一）由方程研究曲線(xiàn)例1.方程的曲線(xiàn)是到定點(diǎn)和

2、的距離之和等于的點(diǎn)的軌跡；（二）分情況求橢圓的方程例2.已知橢圓以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸，且長(zhǎng)軸是短軸的3倍，并且過(guò)點(diǎn)，求橢圓的方程；第12頁(yè)（三）用待定系數(shù)法求方程例3.已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸，且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)、，求橢圓的方程；例4.求經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與橢圓有共同焦點(diǎn)的橢圓方程；注：一般地，與橢圓共焦點(diǎn)的橢圓可設(shè)其方程為；（四）定義法求軌跡方程；例5.在中，所對(duì)的三邊分別為，且，求滿(mǎn)足且成等差數(shù)列時(shí)頂點(diǎn)的軌跡；（五）相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程；例6.已知軸上一定點(diǎn)，為橢圓上任一點(diǎn)，求的中點(diǎn)的軌跡方程；（六）直接法求軌跡方程；例7.設(shè)動(dòng)直線(xiàn)垂直于軸，且與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是直線(xiàn)

3、上滿(mǎn)足的點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程；（七）列方程組求方程例8.中心在原點(diǎn)，一焦點(diǎn)為的橢圓被直線(xiàn)截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求此橢圓的方程；題型三.焦點(diǎn)三角形問(wèn)題例1.已知橢圓上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，橢圓的上下兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，求、及；第12頁(yè)題型四.橢圓的幾何性質(zhì)例1.已知是橢圓上的點(diǎn)，的縱坐標(biāo)為，、分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，橢圓的半焦距為，則的最大值與最小值之差為例2.橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為，若四邊形的內(nèi)切圓恰好過(guò)焦點(diǎn)，則橢圓的離心率為；例3.若橢圓的離心率為，則；例4.若為橢圓上一點(diǎn)，、為其兩個(gè)焦點(diǎn)，且，，則橢圓的離心率為題型五.求范圍例1.方程表示準(zhǔn)線(xiàn)平行于軸的橢圓，求實(shí)數(shù)的取值范

4、圍；題型六.橢圓的第二定義的應(yīng)用例1.方程所表示的曲線(xiàn)是例2.求經(jīng)過(guò)點(diǎn)，以軸為準(zhǔn)線(xiàn)，離心率為的橢圓的左頂點(diǎn)的軌跡方程；例3.橢圓上有一點(diǎn)，它到左準(zhǔn)線(xiàn)的距離等于，那么到右焦點(diǎn)的距離為例4．已知橢圓，能否在此橢圓位于軸左側(cè)的部分上找到一點(diǎn)，使它到左準(zhǔn)線(xiàn)的距離為它到兩焦點(diǎn)距離的等比中項(xiàng)，若能找到，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)，若不能找到，請(qǐng)說(shuō)明理由。第12頁(yè)例5．已知橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)．求的最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)．題型七.求離心率例1.橢圓的左焦點(diǎn)為，，是兩個(gè)頂點(diǎn)，如果到直線(xiàn)的距離為，則橢圓的離心率例2.若為橢圓上一點(diǎn)，、為其兩個(gè)焦點(diǎn)，且，，則橢

5、圓的離心率為例3.、為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)，，且，則橢圓的離心率為；題型八.橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用例1.橢圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最大時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)例2.方程()表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，求的取值范圍；題型九.直線(xiàn)與橢圓的關(guān)系（1）直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系例1.當(dāng)為何值時(shí)，直線(xiàn)與橢圓相切、相交、相離？第12頁(yè)例2.曲線(xiàn)（）與連結(jié)，的線(xiàn)段沒(méi)有公共點(diǎn)，求的取值范圍。例3.過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值及此時(shí)直線(xiàn)傾斜角的正切值。分析：若直接用點(diǎn)斜式設(shè)的方程為，則要求的斜率一定要存在，但在這里的斜率有可能不存在，因此要討論斜率不存在的情形，為了避免

6、討論，我們可以設(shè)直線(xiàn)的方程為，這樣就包含了斜率不存在時(shí)的情形了，從而簡(jiǎn)化了運(yùn)算。解：設(shè)，：把代入橢圓方程得：，即，，第12頁(yè)∴，此時(shí)令直線(xiàn)的傾角為，則即面積的最大值為，此時(shí)直線(xiàn)傾斜角的正切值為。例4.求直線(xiàn)和橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，的取值范圍。（二）弦長(zhǎng)問(wèn)題例1.已知橢圓，是軸正方向上的一定點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)，斜率為1的直線(xiàn)被橢圓截得的弦長(zhǎng)為，求點(diǎn)的坐標(biāo)。分析：若直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交于兩點(diǎn)、，則弦的長(zhǎng)度的計(jì)算公式為，而，因此只要把直線(xiàn)的方程代入圓錐曲線(xiàn)方程，消去（或），結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可求出弦長(zhǎng)。解：設(shè)（），則直線(xiàn)的方程為，設(shè)直線(xiàn)與橢圓相交于、，由，可得，，，則∴

7、，即∴，又，∴，∴；第12頁(yè)例2.橢圓與直線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，若，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的斜率為，求的值。例3.橢圓的焦點(diǎn)分別是和，過(guò)中心作直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，若的面積是20，求直線(xiàn)方程。（三）弦所在直線(xiàn)方程例1.已知橢圓，過(guò)點(diǎn)能否作直線(xiàn)與橢圓相交所成弦的中點(diǎn)恰好是；例2.已知一直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線(xiàn)的方程；例3.橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，其離心率,過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，且C分有向線(xiàn)段的比為2.（1）用直線(xiàn)的斜率表示的面積；（2）當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求橢圓E的方程．解：（1）設(shè)橢圓的方程為，由，∴a2=3b2第12頁(yè)故橢圓方程；設(shè)，由于點(diǎn)

8、分有向線(xiàn)段的比為2．∴，