化歸與轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用

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1、化歸與轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用主講人:黃岡中學(xué)高級教師 湯彩仙一、復(fù)習(xí)策略  化歸與轉(zhuǎn)化的思想,就是在研究和解決數(shù)學(xué)問題時采用某種方式,借助某種函數(shù)性質(zhì)、圖象、公式或已知條件將問題通過變換加以轉(zhuǎn)化,進而達到解決問題的思想.轉(zhuǎn)化是將數(shù)學(xué)命題由一種形式向另一種形式的變換過程,化歸是把待解決的問題通過某種轉(zhuǎn)化過程歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或比較容易解決的問題.化歸轉(zhuǎn)化思想是中學(xué)數(shù)學(xué)最基本的思想方法,堪稱數(shù)學(xué)思想的精髓,它滲透到了數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的各個領(lǐng)域和解題過程的各個環(huán)節(jié)中.轉(zhuǎn)化有等價轉(zhuǎn)化與不等價轉(zhuǎn)化.等價轉(zhuǎn)化后的新

2、問題與原問題實質(zhì)是一樣的,不等價轉(zhuǎn)化則部分地改變了原對象的實質(zhì),需對所得結(jié)論進行必要的修正.  應(yīng)用化歸轉(zhuǎn)化思想解題的原則應(yīng)是化難為易、化生為熟、化繁為簡,盡量是等價轉(zhuǎn)化.常見的轉(zhuǎn)化有:1、等與不等的相互轉(zhuǎn)化  等與不等是數(shù)學(xué)中兩個重要的關(guān)系,把不等問題轉(zhuǎn)化成相等問題,可以減少運算量,提高正確率;把相等問題轉(zhuǎn)化為不等問題,能突破難點找到解題的突破口.2、正與反的相互轉(zhuǎn)化  對于那些從“正面進攻”很難奏效或運算較難的問題,可先攻其反面,從而使正面問題得以解決.3、特殊與一般的相互轉(zhuǎn)化  對于那些結(jié)論不

3、明或解題思路不易發(fā)現(xiàn)的問題,可先用特殊情形探求解題思路或命題結(jié)論,再在一般情況下給出證明,這不失為一種解題的明智之舉.4、整體與局部的相互轉(zhuǎn)化  整體由局部構(gòu)成,研究某些整體問題可以從局部開始.5、高維與低維的相互轉(zhuǎn)化  事物的空間形成,總是表現(xiàn)為不同維數(shù)且遵循由低維向高維的發(fā)展規(guī)律,通過降維轉(zhuǎn)化,可把問題由一個領(lǐng)域轉(zhuǎn)換到另一個領(lǐng)域而得以解決,這種轉(zhuǎn)化在復(fù)數(shù)與立體幾何中特別常見.6、數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化  通過挖掘已知條件的內(nèi)涵,發(fā)現(xiàn)式子的幾何意義,利用幾何圖形的直觀性解決問題,使問題簡化.7、函數(shù)與方

4、程的轉(zhuǎn)化二、典例剖析例1.函數(shù)極限的值為(  ).A.          B.C.          D.分析:  依據(jù)題意,從定義、定理、公式、概念出發(fā),化抽象為具體,化復(fù)雜為簡單,從縱向和橫向進行聯(lián)想轉(zhuǎn)化.解:由導(dǎo)數(shù)的定義可知.故選C.點評:  本題借用函數(shù)極限的具體形式,旨在考查對導(dǎo)數(shù)定義的正確理解,因而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù).例2.數(shù)列中,,,則=______________.解:  通過求猜想,從而達到解決問題的目的,也可以利用數(shù)列極限的含義進行重組變形,可轉(zhuǎn)化為無窮等比遞縮數(shù)列的求和,點

5、評:  利用結(jié)構(gòu)進行從特殊到一般的轉(zhuǎn)化,既可縮短解題時間,又可提高運算準確性,同時考查思維的靈活性和代數(shù)變形能力.例3.(2005年湖北卷)以平行六面體ABCD—A′B′C′D′的任意三個頂點為頂點作三角形,從中隨機取出兩個三角形,則這兩個三角形不共面的概率p為( )A.            B.C.            D.分析:  以平行六面體的八個頂點中任取三點為頂點可以構(gòu)成56個三角形,從這56個三角形中任取兩個,這兩個三角形不共面有多少種不同取法?直接去做較困難,若利用“化歸轉(zhuǎn)化”數(shù)學(xué)

6、思想,采用“正與反的相互轉(zhuǎn)化”,正難則反,從問題的反面入手,找出共面的三角形的對數(shù),問題較易解決.解析:  以平行六面體ABCD—A′B′C′D′的任意三個頂點為頂點作三角形共有個,從中隨機取出兩個三角形共有=28×55種取法,其中兩個三角形共面的為,故不共面的兩個三角形共有(28×55-12×6)種取法,∴以平行六面體ABCD—A′B′C′D′的任意三個頂點為頂點作三角形,從中隨機取出兩個三角形,則這兩個三角形不共面的概率p為,選(A).點評:  當問題從正面入手難以解決時,常采用“正與反的相互轉(zhuǎn)

7、化”,從問題的反面入手,將不符合條件的情況去掉(這在排列組合、概率題中常用),或驗證問題的反面不成立(反證法),從而使問題得以解決.例4.(2006年江西卷)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面為直角三角形,∠ACB=90°,AC=6,BC=CC1=,P是BC1上一動點,則CP+PA1的最小值是___________.分析:  這里求CP+PA1的最小值,而CP與PA1在直三棱柱ABC-A1B1C1的兩個不同平面內(nèi),因此需利用“高維與低維的相互轉(zhuǎn)化”把立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題來解決.解:  連

8、A1B,沿BC1將△CBC1展開與△A1BC1在同一個平面內(nèi),如圖所示,連A1C,則A1C的長度就是所求的最小值.  通過計算可得∠A1C1B=90°又∠BC1C=45°,∠A1C1C=135°,由余弦定理可求得A1C=.點評:  此題將幾何體的側(cè)面展開,空間問題轉(zhuǎn)化成平面問題來解決,這是立體幾何分支中常用的降維轉(zhuǎn)化思想在解答立幾問題的過程中,還常用等積變換求有關(guān)幾何體的體積或點到平面的距離;常用割補轉(zhuǎn)化,改變幾何體的狀態(tài),由復(fù)雜幾何體變?yōu)楹唵螏缀误w,同時,線線、線面

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