思維論文：淺談數(shù)學(xué)中的逆向思維

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1、思維論文：淺談數(shù)學(xué)中的逆向思維摘要：本文主要介紹了什么是逆向思維，何時(shí)運(yùn)用逆向思維。分析法、反證法都是逆向思維的方法，著重介紹了逆向思維方法的運(yùn)用。關(guān)鍵詞：思維逆向思維1什么是逆向思維人的思維過(guò)程是可逆的。如果我們把a(bǔ)?圯b的思維過(guò)程屬于正向思維（正向思考）的話，那么b?圯a的思維過(guò)程則屬于逆向思維（逆向思考）。人們習(xí)慣于正向思維，但在有些時(shí)候，逆向思維卻更有利于問(wèn)題的解決。從正向思維轉(zhuǎn)向逆向思維是思維靈活性的一種表現(xiàn)。那么，什么時(shí)候考慮逆向思維呢？一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)順推不行時(shí)考慮逆推，直接解決不行時(shí)考慮間接

2、解決，探討可能性發(fā)生困難時(shí)考慮探討不可能性……所有這些都屬于逆向思維的范疇。當(dāng)我們反復(fù)考慮某個(gè)問(wèn)題陷入困境時(shí)，逆向思維往往能使我們茅塞頓開，幫助我們找到解決問(wèn)題的思路或辦法。2分析法、反證法都是逆向思維的方法數(shù)學(xué)證明中的分析法、反證法都是逆向思維的方法。在數(shù)學(xué)證明中，按照邏輯推理本身的順序和要求來(lái)說(shuō)，應(yīng)該是從題設(shè)條件出發(fā)，根據(jù)已知的定理?xiàng)l件逐步推出所要證明問(wèn)題的結(jié)論，這是我們證明中常用的綜合法。然而在某些時(shí)候，用綜合法很難解決問(wèn)題，比如很多無(wú)理不等式的證明就是如此。若反其道而行之，從要證明的結(jié)論出發(fā)進(jìn)行

3、倒推，逐步推到已知條件或明顯成立的事實(shí)，從而得到結(jié)論的證明，這就是我們證明中常用的分析法。顯然分析法是一種逆向思維的方法，這種方法在不等式的證明中占有重要的位置。另外，我們常用分析法探索解題途徑，用綜合法形式寫出證明過(guò)程，這是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想方法，也是訓(xùn)練逆向思維的一種途徑。反證法也是一種逆向思維的方法。當(dāng)我們直接證明一個(gè)問(wèn)題發(fā)生困難時(shí)，常?？紤]用反證法。反證法是先證明原命題的否定為假，進(jìn)而肯定原命題為真。也就是說(shuō)，反證法是考慮了兩個(gè)方面，即原命題的反面與真實(shí)（成立）的反面，經(jīng)過(guò)兩次否定才完成

4、整個(gè)證明的。雖然反證法的邏輯依據(jù)是排中律，但其思想方法卻可以說(shuō)是雙重的逆向思維。3逆向思維方法運(yùn)用舉例關(guān)于逆向思維方法的運(yùn)用，舉下面幾個(gè)例子：注：此題若用綜合法就比較困難，因?yàn)槲覀兒茈y想到從“15<16”入手。事實(shí)上，很多含有根式的不等式的證明，用分析法比用綜合法簡(jiǎn)便。例2用0到9這10個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)。解：從0到9這10個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)數(shù)字的排列數(shù)為a103，其中以0開頭的排列數(shù)為a92，所以它們的差就是用這10個(gè)數(shù)字組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的3位數(shù)的個(gè)數(shù)。所以所求3位數(shù)個(gè)數(shù)是：a

5、103-a92=10×9×8-9×8=648答：可以組成648個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)。注：此解法是一種逆向思維的方法。它不是直接求沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)，而是先求不是三位數(shù)的3個(gè)不重復(fù)數(shù)字的排列數(shù)a92，然后從所有不重復(fù)的三個(gè)數(shù)字的排列數(shù)a103中將它減去，得到所求三位數(shù)的個(gè)數(shù)。例3直線和平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線就和這個(gè)平面平行。已知：a￠α，bcα且a∥b(如圖)求證：a∥α。此定理若直接證明的話，需證明直線a和平面α沒(méi)有公共點(diǎn)（線面平行定義），這

6、是非常困難的。若用反證法證，據(jù)已知條件，只需證a∩α=p不可能，這一點(diǎn)很容易做到。證明：（反證法）假設(shè)直線a和平面α不平行，∵a￠α∴a∩α=pa∥α，過(guò)a、b作平面β，則a∩β=b∴p∈b，此與a∥b相矛盾?！郺∥α例4有4位同學(xué)，每人買1張?bào)w育彩票，求至少有2位同學(xué)彩票號(hào)碼的末位數(shù)相同的概率。4位同學(xué)中至少有2位同學(xué)的彩票號(hào)碼的末位數(shù)相同，這包括其中恰有某2位同學(xué)彩票號(hào)碼的末位數(shù)相同、恰有某3位同學(xué)彩票號(hào)碼的末位數(shù)相同、4位同學(xué)彩票號(hào)碼的末位數(shù)都相同等多種互斥情況，逐一求其概率相當(dāng)麻煩。若用逆向思維

7、方法，即先求4位同學(xué)所買彩票末位數(shù)號(hào)碼各不相同的事件的概率。再求其對(duì)立事件——至少有2位同學(xué)彩票號(hào)碼的末位數(shù)相同的概率就比較簡(jiǎn)單。注：若事件b發(fā)生所包含的情況較多，而它的對(duì)立事件a（b不發(fā)生）所包含的情況較少，利用p（b）=1-p(a)計(jì)算b的概率則比較簡(jiǎn)便。這不僅體現(xiàn)了逆向思維，同時(shí)對(duì)培養(yǎng)思維的靈活性是很有益的。例5求sn=1·3·5+3·5·7+5·7·9+…（2n-1)(2n+1)(2n+3)按照習(xí)慣的思維是將和式sn中的通項(xiàng)展開，把sn分解成自然數(shù)與一個(gè)常數(shù)列之和。如果對(duì)自然數(shù)的立方數(shù)列與平方數(shù)

8、列的求和不熟，一切將從頭做起，十分麻煩?，F(xiàn)在考慮一個(gè)比sn的數(shù)列更為復(fù)雜，但結(jié)構(gòu)與其相似的數(shù)列（這是一個(gè)表面上與“簡(jiǎn)單化”方向完成相反的大膽做法）sn*=1·3·5·7+3·5·7·9+5·7·9·11+…（2n-1)(2n+1)(2n+3)（2m+5)記ak=（2k-1)(2k+1)(2k+3)（2k+5)…(*)，（k=1，2，…，n）由ak+1-ak=8(2k+1)(2k+3)（2k+5)…(*)可知，sn*中每相鄰兩項(xiàng)之差的八分之一