反證法論文：淺談反證法及其應(yīng)用

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1、反證法論文：淺談反證法及其應(yīng)用摘要:本文主要介紹了反證法及反證法的常用場合,本文把反證法的常用場合分為八點(diǎn),分別是:①命題結(jié)構(gòu)采取否定形式,結(jié)論反面卻是肯定判斷;②有關(guān)唯一性的問題;③命題結(jié)論是“至多”“至少”形式;④命題結(jié)論涉及無限集或數(shù)目不確定的對象;⑤某些起始命題。⑥難證的逆命題;⑦命題結(jié)論的反面較結(jié)論本身具體、簡單、直接證明難以下手時(shí);⑧直接論證不習(xí)慣,不適應(yīng)。關(guān)鍵詞:反證法反設(shè)歸謬結(jié)論矛盾一、什么是反證法1589年,25歲的意大利科學(xué)家伽俐略,登上比薩斜塔,同時(shí)丟了兩個(gè)不同的鐵球,用實(shí)驗(yàn)推翻了古希臘科學(xué)家

2、亞里士多德的“不同重量的物體從高處下落的速度與其重量成正比”的錯(cuò)誤論斷,這是眾所周知的。但你可能不知道,伽俐略還進(jìn)行了如下的推理論證:假設(shè)亞里士多德的斷言是正確的。設(shè)物體a比物體b重得多,則a應(yīng)比b先落地,現(xiàn)在把a(bǔ)和b捆在一起成為物體a+b。一方面由于a+b比a重,它應(yīng)比a先落地;另一方面,由于a比b落得快,a、b一起時(shí),b應(yīng)“拉了a的后腿”,使a下落的速度減慢,所以,a+b應(yīng)比a先落地,有應(yīng)比a后落地,這個(gè)矛盾來源于亞里士多德的斷言。因此,亞里士多德的斷言是錯(cuò)誤的。伽俐略的論證是有力的,邏輯性極強(qiáng)的,而伽俐略所用

3、的方法,就是我們現(xiàn)在要介紹的反證法。反證法是一種間接法,它是先提出一個(gè)與命題的結(jié)論相反的假設(shè)。然后,從這個(gè)假設(shè)出發(fā)經(jīng)過正確的推理,導(dǎo)致矛盾,從而否定相反的假設(shè),達(dá)到肯定原命題正確的一種方法。用反證法證明一個(gè)命題的步驟大體上可以分為三個(gè)步驟:（1）反設(shè)——假設(shè)待證結(jié)論不成立,亦即肯定待證結(jié)論的反面,并將其作為增加條件,添加到給定的題設(shè)中去。（2）歸謬——從題設(shè)和反設(shè)出發(fā),通過推理和論證,最終推出矛盾。（3）結(jié)論——說明待證命題結(jié)論的反面不能成立,再根據(jù)排中律（否定反面,肯定正面）,從而肯定欲證命題的結(jié)論。二、反證法的

4、分類按照反設(shè)所涉及到的情況的多少,反證法可以分為歸謬反證法與窮舉反證法。1、若結(jié)論的反面只有一種情況,那么,反設(shè)單一,只須駁倒這種情形,便可達(dá)到反設(shè)的目的,這叫歸謬反證法?！纠恳阎猰為整數(shù),且m2是偶數(shù),求證:m為偶數(shù)。分析:本題如果用直接法來證明的話,給人一種無從下手的感覺,題目給我們的已知條件是很簡單的,我們只能從反面去考慮它,由已知條件,我們知道,m為整數(shù),且m2是偶數(shù),所以,我們只需證當(dāng)m為奇數(shù)的時(shí)候m2不是偶數(shù)就可以了。證明:假設(shè)m不是偶數(shù),則m為奇數(shù)。設(shè)m=2k+1(k為整數(shù)),所以于是,m2為奇數(shù),

5、這與已知條件m2是偶數(shù)矛盾。故m為偶數(shù)。2、若結(jié)論的反面不止一種情形,那么,要將各個(gè)反面情形一一駁倒,才能肯定原命題正確,這叫窮舉反證法。三、正確作出反設(shè)正確作出反設(shè),是使用反證法的一大關(guān)鍵。（1)分清命題的條件與結(jié)論,結(jié)論與反設(shè)間的邏輯關(guān)系。【例】試證合適xy+yz+zx=1的實(shí)數(shù)x、y、z必不能滿足x+y+z=xyz。分析:首先我們要弄清楚題目的意思,根據(jù)題目給我們的意思,我們很難用直接法對它進(jìn)行證明,所以我們考慮用反證法,同時(shí)我們要注意正確作出反設(shè),由題目我們知道實(shí)數(shù)x、y、z能滿足方程xy+yz+zx=1但

6、不滿足方程x+y+z=xyz,所以我們作出反設(shè)的時(shí)候要設(shè)實(shí)數(shù)x、y、z既能滿足xy+yz+zx=1,又能滿足x+y+z=xyz。我們知道實(shí)數(shù)x、y、z就是方程xy+yz+zx=1和方程x+y+z=xyz聯(lián)立起來的方程組的一個(gè)實(shí)數(shù)根,我們可以根據(jù)這個(gè)特點(diǎn)去尋找矛盾。對于含有多個(gè)字母的給定式,在計(jì)算時(shí)盡量設(shè)法減少字母的個(gè)數(shù),這是一個(gè)原則。（2）結(jié)論的反面常常不止一種情形,則需反設(shè)后,分別就各種情況歸謬,做到無一遺漏。四、如何導(dǎo)出矛盾歸謬,是反證法的關(guān)鍵,也是困難所在。初學(xué)者往往作出反設(shè)以后,就邁不開步子了,不知往哪里走

7、才能找到矛盾。導(dǎo)出矛盾的過程,沒有固定的模式,可以套用。要憑借解題者擁有的知識(shí)與具備的能力,要善于從反設(shè)與條件中,抓住蛛絲馬跡,發(fā)現(xiàn)矛盾。此外,有兩點(diǎn)應(yīng)該引起我們注意:1、導(dǎo)出矛盾,要從反設(shè)出發(fā),否則,推導(dǎo)將成為無源之水,無本之木。2、推理必須嚴(yán)謹(jǐn)。有人以為反證法就可以不講依據(jù),那是詭辯,只能導(dǎo)致荒謬。一般來說,歸謬的情況大致有如下幾種:（1）推出與公理相矛盾的結(jié)論;（2）推出與已知定理相矛盾的結(jié)論;（3）推出與已知定義相矛盾的結(jié)論;（4）推出兩個(gè)相互矛盾的結(jié)論;（5）推出與原命題題設(shè)條件相矛盾的結(jié)論;（6）推出與

8、逆否命題假設(shè)相矛盾的結(jié)論。五、何時(shí)宜用反證法曾有數(shù)學(xué)家贊揚(yáng)反證法是“數(shù)學(xué)家最精良的武器之一”,它在數(shù)學(xué)證題中確有奇效。應(yīng)該指出的是,多數(shù)題目用直接法證明較為簡捷。究竟什么類型的數(shù)學(xué)題可用這精良的武器去解決呢？對于“若a則b”一類的數(shù)學(xué)命題,一般都可以用反證法來加以證明,當(dāng)然沒有絕對的標(biāo)準(zhǔn),但是遇到以下幾類問題時(shí)不妨試一試。（一)命題結(jié)構(gòu)采取否定形式,結(jié)論反面