初高中銜接教材之 因式分解

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1、33二、因式分解2-1因式與倍式如同因子與倍數(shù)的概念，如果代數(shù)式A可以寫成代數(shù)式B與代數(shù)式C的乘積，即ABC。此時，我們說B與C是A的因式，而A是B與C的倍式。例如：由，可知與皆為的因式，而為與的倍式；由，可知與皆為的因式，而為與的倍式。下面就讓我們先從多項式的除法來認(rèn)識因式與倍式?！径囗検降某ā?13）58526在小學(xué)時，我們會以下列的長除法（直式算法）來求出58除以13的商數(shù)為4，余數(shù)6：同時，我們也知道：581346類似于自然數(shù)的除法，多項式的除法運(yùn)算也有直式算法（長除法）；為了簡化計算，也常使用分離系數(shù)法。事實上，這兩

2、種方法的差別在于計算過程中，有沒有將文字符號寫出來而已。【范例1】求的商式及余式。33【解】方法一：直式算法方法二：分離系數(shù)法x3x1）x24x2x2x3x23x311311）1421132331x(x1)3(x1)答：商式為，余式為。在自然數(shù)的除法，我們有下列的規(guī)則：被除數(shù)除數(shù)商數(shù)余數(shù)，其中，商數(shù)和余數(shù)為非負(fù)整數(shù)，且余數(shù)小于除數(shù)。同樣的，在多項式的除法中，我們也有類似的規(guī)則：被除式除式商式余式，其中，除式不為零多項式，商式的次數(shù)等于被除式的次數(shù)減去除式的次數(shù)，且余式的次數(shù)要小于除式的次數(shù)或為零多項式。在完成多項式的除法后，為了

3、驗證所得結(jié)果是否正確，除了重新檢視運(yùn)算過程外，也常用上述「被除式=除式商式余式」的概念來驗算。例如：（除式商式余式）　　?。ū怀剑?1112）251524111215127【范例2】求的商式及余式?！窘狻看穑荷淌綖?x2x1，余式為7。使用分離系數(shù)法時，當(dāng)除式或被除式缺項時，需要補(bǔ)0。33【范例3】求(3x22)(2x1)的商式及余式。【解】　　因為，所以用302來表示3x22。21）30232答：商式為x，余式為?！痉独?】求的商式及余式。23312）674862490893632【解】答：商式為2x3，余式為3x2?！痉独?/p>

4、5】求(3x38x27x2)(x22x1)的商式及余式。32121）38723632422420【解】答：商式為3x2，余式為0?！绢愵}練習(xí)1】求下列各除法運(yùn)算的商式及余式：(1)(2)(3)(4)33當(dāng)余式為零多項式時，我們稱除式整除被除式，例如：在范例5中，x22x1整除3x38x27x2。這時，x22x1與3x2為3x38x27x2的因式，而3x38x27x2為x22x1與3x2的倍式；而在范例4中，所得到的余式3x2不為零多項式，所以與2x3都不是的因式。我們知道兩個x的一次式乘積展開后成為x的二次多項式。反過來說，如果

5、能將一個x的二次式寫成兩個x的一次式的乘積，我們稱這樣的過程為這個二次式的因式分解。因式分解乘積展開在高中的課程中，我們也會將一個多項式寫成幾個一次或二次的多項式的連乘積，這樣的過程也稱為這個多項式的因式分解。例如：因式分解乘積展開=在國中階段做因式分解時，我們只考慮因式的系數(shù)為有理數(shù)（整數(shù)或分?jǐn)?shù)）的情形。但從此以后，我們將不再要求因式的系數(shù)一定是有理數(shù)。在2-2至2-4節(jié)中，我們將介紹幾個常用的方法：提公因式、分組分解、十字交乘和利用乘法公式，并且在2-5節(jié)中補(bǔ)充利用配方法做因式分解?！局攸c整理】1.判別兩多項式是否為因倍式關(guān)

6、系時，可使用除法所得余式是否為0來判斷。33【家庭作業(yè)】基礎(chǔ)題1.求下列各除法運(yùn)算的商式及余式：2.已知，求a、b的值。3.已知某多項式除以，可得商式，余式3，求此多項式。4.已知可被整除，求k的值。5.已知一長方體的體積為、長為且寬為，求此長方體的高。進(jìn)階題6.若多項式A除以得商式B，余式為3；多項式B除以得余式為，求多項式A除以所得的余式。7.求以除所得的余式。332-2提公因式作因式分解【從各項提公因式】如果發(fā)現(xiàn)多項式的每一項都有共同的因式時，我們可先將此公因式提出?！痉独?】因式分解下列多項式：(1)(2)(3)【解】(

7、1)(2)(ab)(ab)2(ab)(ab)[(ab)2](ab)(ab2)(3)【類題練習(xí)1】因式分解下列多項式：(1)(2)(3)【分組提公因式】當(dāng)各項沒有公因式時，可嘗試分組或去括號重新分組，使得每組之間有公因式?！痉独?】因式分解下列多項式：(1)(2)(3)(4)【解】(1)33(2)方法一：方法二：（交換律）(3)方法一：方法二：(4)可嘗試去括號展開后，再重新分組。【類題練習(xí)2】因式分解下列多項式：(1)(2)(3)(4)33從前面的例子我們可以看出，某些多項式可能有不只一種分組的方式來做因式分解?！局攸c整理】1.

8、若代數(shù)式各項有公因式時，先將此公因式提出來做因式分解。2.若代數(shù)式各項沒有公因式時，可嘗試分組或去括號重新分組，再提公因式來做因式分解?！炯彝プ鳂I(yè)】基礎(chǔ)題1.因式分解下列多項式：進(jìn)階題2.因式分解下列多項式：332-3十字交乘法作因式分解在多項式的乘法運(yùn)算中，我