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1、第二章線性規(guī)劃的對(duì)偶問題第二章線性規(guī)劃的對(duì)偶問題習(xí)題2.1寫出下列線性規(guī)劃問題的對(duì)偶問題(1)maxz＝10x1＋x2＋2x3(2)maxz＝2x1＋x2＋3x3＋x4st.x1＋x2＋2x3≤10st.x1＋x2＋x3＋x4≤54x1＋x2＋x3≤202x1－x2＋3x3＝－4xj≥0（j＝1,2,3）x1－x3＋x4≥1x1，x3≥0，x2，x4無約束(3)minz＝3x1＋2x2－3x3＋4x4(4)minz＝－5x1－6x2－7x3st.x1－2x2＋3x3＋4x4≤3st.－x1＋5x2－3x3≥15x2＋
2、3x3＋4x4≥－5－5x1－6x2＋10x3≤202x1－3x2－7x3－4x4＝2＝x1－x2－x3＝－5x1≥0，x4≤0，x2，，x3無約束x1≤0，x2≥0，x3無約束2.2已知線性規(guī)劃問題maxz＝CX，AX=b，X≥0。分別說明發(fā)生下列情況時(shí)，其對(duì)偶問題的解的變化：（1）問題的第k個(gè)約束條件乘上常數(shù)λ（λ≠0）；（2）將第k個(gè)約束條件乘上常數(shù)λ（λ≠0）后加到第r個(gè)約束條件上；（3）目標(biāo)函數(shù)改變?yōu)閙axz＝λCX（λ≠0）；（4）模型中全部x1用3代換。2.3已知線性規(guī)劃問題minz＝8x1＋6x2＋3
3、x3＋6x4st.x1＋2x2＋x4≥33x1＋x2＋x3＋x4≥6x3＋x4＝2x1＋x3≥2xj≥0（j＝1,2,3,4）(1)寫出其對(duì)偶問題；(2)已知原問題最優(yōu)解為x*＝（1，1，2，0），試根據(jù)對(duì)偶理論，直接求出對(duì)偶問題的最優(yōu)解。2.4已知線性規(guī)劃問題minz＝2x1＋x2＋5x3＋6x4對(duì)偶變量st.2x1＋x3＋x4≤8y12x1＋2x2＋x3＋2x4≤12y2xj≥0（j＝1,2,3,4）其對(duì)偶問題的最優(yōu)解y1*=4；y2*=1，試根據(jù)對(duì)偶問題的性質(zhì)，求出原問題的最優(yōu)解。５１第二章線性規(guī)劃的對(duì)偶問題2
4、.5考慮線性規(guī)劃問題maxz＝2x1＋4x2＋3x3st.3x1＋4x2＋2x3≤602x1＋x2＋2x3≤40x1＋3x2＋2x3≤80xj≥0（j＝1,2,3）（1）寫出其對(duì)偶問題（2）用單純形法求解原問題，列出每步迭代計(jì)算得到的原問題的解與互補(bǔ)的對(duì)偶問題的解；（3）用對(duì)偶單純形法求解其對(duì)偶問題，并列出每步迭代計(jì)算得到的對(duì)偶問題解及與其互補(bǔ)的對(duì)偶問題的解；（4）比較（2）和（3）計(jì)算結(jié)果。2.6已知線性規(guī)劃問題maxz＝10x1＋5x2st.3x1＋4x2≤95x1＋2x2≤8xj≥0（j＝1,2）用單純形法求得
5、最終表如下表所示：x1x2x3x4bx201—x110—1sj=cj-Zj00——試用靈敏度分析的方法分別判斷：（1）目標(biāo)函數(shù)系數(shù)c1或c2分別在什么范圍內(nèi)變動(dòng)，上述最優(yōu)解不變；（2）約束條件右端項(xiàng)b1，b2，當(dāng)一個(gè)保持不變時(shí)，另一個(gè)在什么范圍內(nèi)變化，上述最優(yōu)基保持不變；（3）問題的目標(biāo)函數(shù)變?yōu)閙axz＝12x1＋4x2時(shí)上述最優(yōu)解的變化；（4）約束條件右端項(xiàng)由變?yōu)闀r(shí)上述最優(yōu)解的變化。2.7線性規(guī)劃問題如下：maxz＝—5x1＋5x2＋13x3st.—x1＋x2＋3x3≤20①12x1＋4x2＋10x3≤90②xj≥
6、0（j＝1,2,3）先用單純形法求解，然后分析下列各種條件下，最優(yōu)解分別有什么變化？（1）約束條件①的右端常數(shù)由20變?yōu)?0；５１第二章線性規(guī)劃的對(duì)偶問題（1）約束條件②的右端常數(shù)由90變?yōu)?0；（2）目標(biāo)函數(shù)中x3的系數(shù)由13變?yōu)?；（3）x1的系數(shù)列向量由（—1，12）T變?yōu)椋?，5）T；（4）增加一個(gè)約束條件③：2x1＋3x2＋5x3≤50；（5）將原約束條件②改變?yōu)椋?0x1＋5x2＋10x3≤100。2.8用單純形法求解某線性規(guī)劃問題得到最終單純形表如下：cj基變量50401060Sx1x2x3x4ac01
7、16bd1024sj=cj-Zj00efg（1）給出a，b，c，d，e，f，g的值或表達(dá)式；（2）指出原問題是求目標(biāo)函數(shù)的最大值還是最小值；（3）用a+Da，b+Db分別代替a和b，仍然保持上表是最優(yōu)單純形表，求Da，Db滿足的范圍。2.9某文教用品廠用原材料白坯紙生產(chǎn)原稿紙、日記本和練習(xí)本三種產(chǎn)品。該廠現(xiàn)有工人100人，每月白坯紙供應(yīng)量為30000千克。已知工人的勞動(dòng)生產(chǎn)率為：每人每月可生產(chǎn)原稿紙30捆，或日記本30打，或練習(xí)本30箱。已知原材料消耗為：每捆原稿紙用白坯紙千克，每打日記本用白坯紙千克，每箱練習(xí)本用白
8、坯紙千克。又知每生產(chǎn)一捆原稿紙可獲利2元，生產(chǎn)一打日記本獲利3元，生產(chǎn)一箱練習(xí)本獲利1元。試確定：（1）現(xiàn)有生產(chǎn)條件下獲利最大的方案；（2）如白坯紙的供應(yīng)數(shù)量不變，當(dāng)工人數(shù)不足時(shí)可招收臨時(shí)工，臨時(shí)工工資支出為每人每月40元，則該廠要不要招收臨時(shí)工？如要的話，招多少臨時(shí)工最合適？2.10某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，需要A、B兩種原料，生產(chǎn)消耗等參數(shù)如
