專題02：數(shù) 列

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1、專題三：數(shù)列【考點審視】（本部分內(nèi)容是根據(jù)近幾年高考命題規(guī)律和趨勢透視本單元考查的重點.）本章內(nèi)容是中學(xué)數(shù)學(xué)的重點之一，它既具有相對的獨立性，又具有一定的綜合性和靈活性，也是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的一個重要的銜接點，因而歷來是高考的重點.高考對本章考查比較全面,等差、等比數(shù)列，數(shù)列的極限的考查幾乎每年都不會遺漏.就近五年高考試卷平均計算，本章內(nèi)容在文史類中分數(shù)占13％，理工類卷中分數(shù)占11％，由此可以看出數(shù)列這一章的重要性.本章在高考中常見的試題類型及命題趨勢：（1）數(shù)列中與的關(guān)系一直是高考的熱點，求數(shù)列的通項公式是最

2、為常見的題目，要切實注意與的關(guān)系.關(guān)于遞推公式，在《考試說明》中的考試要求是：“了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項”，近幾年命題嚴格按照《考試說明》，不要求較復(fù)雜由遞推公式求通項問題，例如2004年全國卷一·（15）、（22）.（2）探索性問題在數(shù)列中考查較多，試題沒有給出結(jié)論，需要考生猜出或自己找出結(jié)論，然后給以證明.探索性問題對分析問題解決問題的能力有較高的要求.（3）等差、等比數(shù)列的基本知識必考.這類考題既有選擇題，填空題，又有解答題；有容易題、中等題，也有難題，例如2004全

3、國高考·浙江卷·（3）、（17）（文）、（22）均考查了等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，還有2004年全國高考·上海卷·（4）、（12）均有提及.（4）求和問題也是常見的試題，等差數(shù)列、等比數(shù)列及可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求和問題應(yīng)掌握，還應(yīng)該掌握一些特殊數(shù)列的求和.（5）將數(shù)列應(yīng)用題轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問題也是高考中的重點和熱點，從本章在高考中所在的分值來看，一年比一年多，而且多注重能力的考查.例如2003年全國高考·新課程卷·解答題（19）主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)及遞推關(guān)系；2004年全國高考·上海卷·解答題（）主要考查了

4、等差數(shù)列及證明.通過上述分析，在學(xué)習(xí)中應(yīng)著眼于教材的基本知識和方法，不要盲目擴大，應(yīng)著重做好以下幾方面：（1）理解概念，熟練運算（2）巧用性質(zhì)，靈活自如【疑難點拔】（解釋重點、難點及知識體系，尤其是考試中學(xué)生常見錯案分析.）數(shù)列部分的復(fù)習(xí)分三個方面:①重視函數(shù)與數(shù)列的聯(lián)系，重視方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用。②掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識以及可化為等差、等比數(shù)列的簡單問題，同時要重視等差、等比數(shù)列性質(zhì)的靈活運用。③要設(shè)計一些新穎題目，尤其是通過探索性題目，挖掘?qū)W生的潛能，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神，數(shù)列綜合能力題涉及

5、的問題背景新穎，解法靈活，解這類題時，要教給學(xué)生科學(xué)合理的思維，全面靈活地運用數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)列部分重點是等差、等比數(shù)列，而二者在內(nèi)容上是完全平行的，因此，復(fù)習(xí)時應(yīng)將它們對比起來復(fù)習(xí)；由于數(shù)列方面的題目解法的靈活性和多樣性，在復(fù)習(xí)時，要啟發(fā)學(xué)生從多角度思考問題，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性，養(yǎng)成良好的思維品質(zhì)；提倡一題多解，達到事半功倍的效果。錯案分析：例1.各項均為實數(shù)的等比數(shù)列的前項和記為，若，，則等于__________.[錯解一],或.[錯因]將等比數(shù)列中成等比數(shù)列,誤解為成等比數(shù)列.[錯解二]是等比數(shù)列,成等比數(shù)

6、列其公比為,從而,得或,或,或,或.[錯因]忽視了隱含條件.[正解]由題設(shè)得:①,②,②①得或（舍去），.例2．已知數(shù)列的前項和為非零常數(shù)），則數(shù)列為（）（A）等差數(shù)列（B）等比數(shù)列（C）既不是等差數(shù)列，又不是等比數(shù)列（D）既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列[錯解],，（常數(shù)），數(shù)列為等比數(shù)列.[錯因]忽略了中隱含條件.[正解]當(dāng)時,,當(dāng)時,,,為常數(shù),但,數(shù)列從第二項起為等比數(shù)列,選C.例3.某種細菌在培養(yǎng)過程中,每分鐘分裂一次(一個分裂成二個)經(jīng)過h這種細菌由一個可繁殖成_________個.[錯解一]由題意每次分裂數(shù)構(gòu)

7、成等比數(shù)列,公比為,共繁殖次,個[錯解二]由題意每次分裂數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列,公比為,共繁殖次,細菌由一個可繁殖成[正解]由題意知,每次分裂細菌數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列,,公比,共分裂次,第次應(yīng)為,(個)例4.一個球從高處自由落下,每次著地后又跳回到原高度的一半,當(dāng)它第次著地時,共經(jīng)過了多少米?[錯解]因球每次著地后跳回到原高度的一半,從而每次著地之間經(jīng)過的路程構(gòu)成一個等比數(shù)列,.[錯因]每兩次著地之間經(jīng)過的路程應(yīng)為上、下路程之和;而第一次從落下時只有下的路程,應(yīng)單獨計算.[正解].例5.在等差數(shù)列中,已知,前項和為,且,求當(dāng)取何

8、值時,有最大值,并求它的最大值.[錯解]設(shè)公差為,,,得,即,,當(dāng)時,,,當(dāng)時,有最大值.[錯因]僅解不等式是不正確的,應(yīng)解.[正解]由,解得公差,,,.所以,當(dāng)或時,有最大值為.[例6]一對夫婦為了給他們的獨生孩子支付將來上大學(xué)的費用，從孩子一出生就在每年生日，到銀行儲蓄元一年定期，若年利率為保持不變，且每年到期時存款（含利息）自動轉(zhuǎn)為新的一年定期，當(dāng)孩子