資源描述:
《函數(shù)與方程的思想方法》由會員上傳分享,免費在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、第4講函數(shù)與方程的思想方法一、知識整合函數(shù)與方程是兩個不同的概念,但它們之間有著密切的聯(lián)系,方程f(x)=0的解就是函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸的交點的橫坐標(biāo),函數(shù)y=f(x)也可以看作二元方程f(x)-y=0通過方程進行研究。就中學(xué)數(shù)學(xué)而言,函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個方面:一是借助有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì),解有關(guān)求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題:二是在問題的研究中,通過建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù),把所研究的問題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì),達(dá)到化難為易,化繁為簡的目的.許多有關(guān)方程的問題可以用函數(shù)的方法解決,反之,許多函數(shù)問題也可以用方程的方法來
2、解決。函數(shù)與方程的思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想,也是歷年高考的重點。1.函數(shù)的思想,是用運動和變化的觀點,分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系,建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù),運用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題,從而使問題獲得解決。函數(shù)思想是對函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識,用于指導(dǎo)解題就是善于利用函數(shù)知識或函數(shù)觀點觀察、分析和解決問題。2.方程的思想,就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系,建立方程或方程組,或者構(gòu)造方程,通過解方程或方程組,或者運用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題,使問題獲得解決。方程的數(shù)學(xué)是對方程概念的本質(zhì)認(rèn)識,用于指導(dǎo)解題就是善于利用方程或方程組的觀點觀察處理問題。方程思想是動中求靜,研
3、究運動中的等量關(guān)系.3.(1)函數(shù)和方程是密切相關(guān)的,對于函數(shù)y=f(x),當(dāng)y=0時,就轉(zhuǎn)化為方程f(x)=0,也可以把函數(shù)式y(tǒng)=f(x)看做二元方程y-f(x)=0。函數(shù)問題(例如求反函數(shù),求函數(shù)的值域等)可以轉(zhuǎn)化為方程問題來求解,方程問題也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來求解,如解方程f(x)=0,就是求函數(shù)y=f(x)的零點。(2)函數(shù)與不等式也可以相互轉(zhuǎn)化,對于函數(shù)y=f(x),當(dāng)y>0時,就轉(zhuǎn)化為不等式f(x)>0,借助于函數(shù)圖像與性質(zhì)解決有關(guān)問題,而研究函數(shù)的性質(zhì),也離不開解不等式。(3)數(shù)列的通項或前n項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù),用函數(shù)的觀點處理數(shù)列問題十分重要。(4)
4、函數(shù)f(x)=(n∈N*)與二項式定理是密切相關(guān)的,利用這個函數(shù)用賦值法和比較系數(shù)法可以解決很多二項式定理的問題。(5)解析幾何中的許多問題,例如直線和二次曲線的位置關(guān)系問題,需要通過解二元方程組才能解決,涉及到二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論。5(6)立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計算,經(jīng)常需要運用布列方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決。二、例題解析Ⅰ.運用函數(shù)與方程、表達(dá)式相互轉(zhuǎn)化的觀點解決函數(shù)、方程、表達(dá)式問題。例1已知,(a、b、c∈R),則有()(A)(B)(C)(D)解析法一:依題設(shè)有a·5-b·+c=0∴是實系數(shù)一元二次方程的一個實根;∴△=≥0∴故選(B)
5、法二:去分母,移項,兩邊平方得:≥10ac+2·5a·c=20ac∴故選(B)點評解法一通過簡單轉(zhuǎn)化,敏銳地抓住了數(shù)與式的特點,運用方程的思想使問題得到解決;解法二轉(zhuǎn)化為b2是a、c的函數(shù),運用重要不等式,思路清晰,水到渠成。練習(xí)1已知關(guān)于的方程-(2m-8)x+-16=0的兩個實根、滿足<<,則實數(shù)m的取值范圍_______________。答案:;x21y02已知函數(shù)的圖象如下,則()(A)(B)(C)(D)答案:A.3求使不等式≤·對大于1的任意x、y恒成立的a的取值范圍。Ⅱ:構(gòu)造函數(shù)或方程解決有關(guān)問題:例2已知,t∈[,8],對于f(t)值域內(nèi)的所有實數(shù)m,不等式5
6、恒成立,求x的取值范圍。解析∵t∈[,8],∴f(t)∈[,3]原題轉(zhuǎn)化為:>0恒成立,為m的一次函數(shù)(這里思維的轉(zhuǎn)化很重要)當(dāng)x=2時,不等式不成立?!鄕≠2。令g(m)=,m∈[,3]問題轉(zhuǎn)化為g(m)在m∈[,3]上恒對于0,則:;解得:x>2或x<-1評析首先明確本題是求x的取值范圍,這里注意另一個變量m,不等式的左邊恰是m的一次函數(shù),因此依據(jù)一次函數(shù)的特性得到解決。在多個字母變量的問題中,選準(zhǔn)“主元”往往是解題的關(guān)鍵。例3為了更好的了解鯨的生活習(xí)性,某動物保護組織在受傷的鯨身上裝了電子監(jiān)測裝置,從海洋放歸點A處,如圖(1)所示,把它放回大海,并沿海岸線由西向東不停
7、地對它進行了長達(dá)40分鐘的跟蹤觀測,每隔10分鐘踩點測得數(shù)據(jù)如下表(設(shè)鯨沿海面游動),然后又在觀測站B處對鯨進行生活習(xí)性的詳細(xì)觀測,已知AB=15km,觀測站B的觀測半徑為5km。觀測時刻t(分鐘)跟蹤觀測點到放歸點的距離a(km)鯨位于跟蹤觀測點正北海岸西東圖1AB方向的距離b(km)1010.9992021.4133031.7324042.001(1)據(jù)表中信息:①計算出鯨沿海岸線方向運動的速度;②試寫出a、b近似地滿足的關(guān)系式并畫出鯨的運動路線草圖;AByx圖2(2)若鯨繼續(xù)以(1)-②運動的路線運動,試預(yù)測