高等數(shù)學(xué)講義（汪誠義）

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1、新東方在線高等數(shù)學(xué)講義主講：汪誠義歡迎使用新東方在線電子教材目錄第一章函數(shù)、極限、連續(xù)1第二章一元函數(shù)微分學(xué)24第三章一元函數(shù)積分學(xué)49第四章常微分方程70第五章向量代數(shù)與空間解析幾何82第六章多元函數(shù)微分學(xué)92第七章多元函數(shù)積分學(xué)107第八章無窮級數(shù)（數(shù)一和數(shù)三）12923第一章函數(shù)、極限、連續(xù)§1.1函數(shù)(甲)內(nèi)容要點一、函數(shù)的概念1．函數(shù)的定義2．分段函數(shù)3．反函數(shù)4．隱函數(shù)二、基本初等函數(shù)的概念、性質(zhì)和圖象三、復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)四、考研數(shù)學(xué)中常出現(xiàn)的非初等函數(shù)1．用極限表示的函數(shù)(1)(2)2．用變上、下限積分表示的函數(shù)(1)其中連續(xù)，則(2)其中可導(dǎo)，連續(xù)，則五、函數(shù)的幾種性質(zhì)1．

2、有界性：設(shè)函數(shù)在X內(nèi)有定義，若存在正數(shù)M，使都有，則稱在X上是有界的。2．奇偶性：設(shè)區(qū)間X關(guān)于原點對稱，若對，都有，則稱在X上是奇函數(shù)。若對，都有，則稱在X上是偶函數(shù)，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；偶函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱。3．單調(diào)性：設(shè)在X上有定義，若對任意，都有則稱在X上是單調(diào)增加的[單調(diào)減少的]；若對任意，23都有，則稱在X上是單調(diào)不減[單調(diào)不增]（注意：有些書上把這里單調(diào)增加稱為嚴(yán)格單調(diào)增加；把這里單調(diào)不減稱為單調(diào)增加。）1．周期性：設(shè)在X上有定義，如果存在常數(shù)，使得任意，，都有，則稱是周期函數(shù)，稱T為的周期。由此可見，周期函數(shù)有無窮多個周期，一般我們把其中最小正周期稱為周期。(乙)典型例題

3、一、定義域與值域例1設(shè)的定義域為（）求的定義域解：要求，則，當(dāng)時，，，則當(dāng)時，，也即或例2求并求它的反函數(shù)。解：，，，，，，，，，所以的值域為反函數(shù)二、求復(fù)合函數(shù)有關(guān)表達(dá)式23例1設(shè)，求解：，若，則根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法可知，對正整數(shù)，例2已知，且，求解：令，，因此，，∴三、有關(guān)四種性質(zhì)例1設(shè)，則下列結(jié)論正確的是[]（A）若為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)（B）若為偶函數(shù)，則為奇函數(shù)（C）若為周期函數(shù)，則為周期函數(shù)（D）若為單調(diào)函數(shù)，則為單調(diào)函數(shù)例2求解是奇函數(shù)，是奇函數(shù)，23因此是奇函數(shù)于是例3設(shè)是恒大于零的可導(dǎo)函數(shù)，且，則當(dāng)時，下列結(jié)論成立的是[]（A）（B）（C）（D）思考題：兩個周期函數(shù)之和是否為周期函

4、數(shù)四、函數(shù)方程例1．設(shè)在上可導(dǎo)，，反函數(shù)為，且，求。解：兩邊對求導(dǎo)得，于是，故，，由，得，則。例2設(shè)滿足，求解：令，則，，，……23，各式相加，得，∴因此，于是或（k為整數(shù)）思考題設(shè)均為常數(shù)，求方程的一個解?！?.2極限(甲)內(nèi)容要點一、極限的概念與基本性質(zhì)1．極限的概念(1)數(shù)列的極限(2)函數(shù)的極限；；；；2．極限的基本性質(zhì)定理1（極限的唯一性）設(shè)，，則A=B定理2（極限的不等式性質(zhì)）設(shè)，若變化一定以后，總有，則23反之，，則變化一定以后，有（注：當(dāng)，情形也稱為極限的保號性）定理3（極限的局部有界性）設(shè)則當(dāng)變化一定以后，是有界的。定理4設(shè)，則（1）（2）（3）（4）（5）二、無窮小1．無

5、窮小定義：若，則稱為無窮?。ㄗⅲ簾o窮小與的變化過程有關(guān)，，當(dāng)時為無窮小，而或其它時，不是無窮小）2．無窮大定義：任給M>0，當(dāng)變化一定以后，總有，則稱為無窮大，記以。3．無窮小與無窮大的關(guān)系：在的同一個變化過程中，若為無窮大，則為無窮小，若為無窮小，且，則為無窮大。4．無窮小與極限的關(guān)系：，其中5．兩個無窮小的比較23設(shè)，，且（1），稱是比高階的無窮小，記以稱是比低階的無窮小（2），稱與是同階無窮小。（3），稱與是等階無窮小，記以6．常見的等價無窮小，當(dāng)時，，，，，，，。7．無窮小的重要性質(zhì)有界變量乘無窮小仍是無窮小。三、求極限的方法1．利用極限的四則運(yùn)算和冪指數(shù)運(yùn)算法則2．兩個準(zhǔn)則準(zhǔn)則1：

6、單調(diào)有界數(shù)列極限一定存在(1)若（為正整數(shù)）又（為正整數(shù)），則存在，且(2)若（為正整數(shù)）又（為正整數(shù)），則存在，且準(zhǔn)則2：夾逼定理設(shè)。若，，則3．兩個重要公式公式1：公式2：；；4．用無窮小重要性質(zhì)和等價無窮小代換5．用泰勒公式（比用等價無窮小更深刻）（數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二）當(dāng)時，236．洛必達(dá)法則法則1：（型）設(shè)（1）（2）變化過程中，，皆存在（3）（或）則（或）（注：如果不存在且不是無窮大量情形，則不能得出不存在且不是無窮大量情形）法則2：（型）設(shè)（1）（2）變化過程中，，皆存在（3）（或）則（或）7．利用導(dǎo)數(shù)定義求極限23基本公式：[如果存在]8．利用定積分定義求極限基本公式[如果存在]9

7、．其它綜合方法10．求極限的反問題有關(guān)方法（乙）典型例題一、通過各種基本技巧化簡后直接求出極限例1設(shè)，，求解：例2設(shè)，，求解：特例（1）求解：例2中取，，可知原式（2）23例3．求解：分子、分母用除之，原式=（注：主要用當(dāng)時，）例4設(shè)是正整數(shù)，求解：∴因此原式特例：（1）（）（2）（）二、用兩個重要公式例1求解：當(dāng)，原式=1當(dāng)時，原式=…23例2求解一：解二：例3=三、用夾逼定理求極限例1．求解：令，，則，于