關(guān)于排隊(duì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型研究

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1、哈爾濱師范大學(xué)學(xué)年論文題目關(guān)于排隊(duì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型研究學(xué)生朱彩琳指導(dǎo)教師穆強(qiáng)年級(jí)2008級(jí)專(zhuān)業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系別數(shù)學(xué)系學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院哈爾濱師范大學(xué)72011年6月論文提要本文通過(guò)對(duì)排隊(duì)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，并運(yùn)用概率論的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行解答，得到了以下一系列不同類(lèi)型排隊(duì)模型的結(jié)論。7關(guān)于排隊(duì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型朱彩琳摘要：本文通過(guò)對(duì)排隊(duì)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，并運(yùn)用概率論的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行解答，得到了以下一系列不同類(lèi)型排隊(duì)模型的結(jié)論。關(guān)鍵詞：排隊(duì)數(shù)學(xué)模型最優(yōu)方案一、排隊(duì)系統(tǒng)的組成（一）輸入過(guò)程：1.顧客總體可以有限或無(wú)限（如流入水庫(kù)的水）。2.顧客到達(dá)系統(tǒng)的方式可以逐個(gè)

2、或成批。3.顧客相繼到來(lái)時(shí)間間隔可分為確定型（比如定期航班，定期的課程表等）和隨機(jī)性（比如看病的病人，候車(chē)的旅客，進(jìn)港口的船舶）。4.顧客到達(dá)系統(tǒng)可以是獨(dú)立的或相關(guān)的，輸入過(guò)程可以是平穩(wěn)、馬氏、齊次等。（二）排隊(duì)過(guò)程：1.排隊(duì)規(guī)則可分為三種制式損失制―顧客到達(dá)系統(tǒng)時(shí)，如果系統(tǒng)中所有服務(wù)窗均被占用，則到達(dá)的顧客隨即離去，比如打電話時(shí)遇到占線，用戶(hù)即擱置重打或離去另找地方或過(guò)些時(shí)候再打。等待制―顧客到達(dá)系統(tǒng)時(shí)，雖然發(fā)現(xiàn)服務(wù)窗均忙著，但系統(tǒng)設(shè)有場(chǎng)地供顧客排隊(duì)等候之用，于是到達(dá)系統(tǒng)之顧客按先后順序進(jìn)行排隊(duì)等候服務(wù)。通常的服務(wù)規(guī)則有先到先服務(wù)，后到先服務(wù)（

3、比如倉(cāng)庫(kù)中同種物品堆壘后的出庫(kù)過(guò)程），隨機(jī)服務(wù)，優(yōu)先服務(wù)（比如郵政中的快件與特快轉(zhuǎn)遞業(yè)務(wù)，重危病人的急診，交通中讓救火（護(hù)）車(chē)、警車(chē)及迎賓車(chē)隊(duì)優(yōu)先通過(guò)）等?；旌现屁D它是損失制與等待制混合組成的排隊(duì)系統(tǒng)，此系統(tǒng)僅允許有限個(gè)顧客等候排隊(duì)，其余顧客只好離去；或者顧客中有的見(jiàn)到排隊(duì)隊(duì)伍長(zhǎng)而不愿費(fèi)時(shí)等候，當(dāng)隊(duì)伍短時(shí)愿排隊(duì)等候服務(wù)；也有排隊(duì)等候的顧客當(dāng)?shù)群驎r(shí)間超過(guò)某個(gè)時(shí)間就離隊(duì)而去均屬這種系統(tǒng)。2.排隊(duì)隊(duì)列可具體或抽象，系統(tǒng)容量可以有限或無(wú)限。3.排隊(duì)隊(duì)列可以單列或多列。（三）服務(wù)窗1.系統(tǒng)可以無(wú)窗口、一個(gè)窗口或多個(gè)窗口為顧客進(jìn)行服務(wù)。2.在多個(gè)服務(wù)窗情形，

4、顧客排隊(duì)可以平行多隊(duì)排列，串列或并串同時(shí)存在的混合排隊(duì)。3.一個(gè)服務(wù)窗可以為單個(gè)顧客或成批顧客進(jìn)行服務(wù)。4.各窗口的服務(wù)時(shí)間可為確定型（如交通路口紅綠燈亮的時(shí)間，各單位固定的上下班時(shí)間）或隨機(jī)型。服務(wù)時(shí)間往往假定是平穩(wěn)的。（四）排隊(duì)系統(tǒng)的目標(biāo)參量1.絕對(duì)通過(guò)能力，它為單位時(shí)間內(nèi)被服務(wù)完顧客的均值。72.相對(duì)通過(guò)能力，它為單位時(shí)間內(nèi)被服務(wù)完顧客數(shù)與請(qǐng)求服務(wù)顧客數(shù)之比值。3.系統(tǒng)排隊(duì)均值，它即是系統(tǒng)內(nèi)顧客數(shù)的均值。4.排隊(duì)等候顧客的平均隊(duì)列長(zhǎng)度，它即是系統(tǒng)內(nèi)排隊(duì)等候顧客的均值。5.顧客在系統(tǒng)內(nèi)逗留時(shí)間的均值；顧客排隊(duì)等候服務(wù)的時(shí)間的均值；服務(wù)時(shí)間的均

5、值為，顯然有。6.服務(wù)窗連續(xù)繁忙的時(shí)間長(zhǎng)度，即忙期。7.系統(tǒng)的損失概率，即系統(tǒng)滿(mǎn)員概率。二、損失制排隊(duì)模型（一）單服務(wù)窗模型1.單服務(wù)窗損失制排隊(duì)模型是指系統(tǒng)內(nèi)只設(shè)一個(gè)服務(wù)窗，系統(tǒng)容量為（即僅有一個(gè)排隊(duì)位置而無(wú)排隊(duì)等待位置），顧客到達(dá)和窗口服務(wù)時(shí)間均為負(fù)指數(shù)分布，且它們各自的參數(shù)為與的排隊(duì)系統(tǒng)。比如只設(shè)一條外線的的電話交換臺(tái)。2.因系統(tǒng)只有單個(gè)服務(wù)窗，故系統(tǒng)只能有兩種可能狀態(tài)：0（服務(wù)窗空閑著）及1（服務(wù)窗忙著），故由K氏微分方程，知t時(shí)刻系統(tǒng)處于空閑或忙著的概率或分別滿(mǎn)足下列方程，，及正則性，由初始條件，（表示開(kāi)始時(shí)服務(wù)窗空閑著）可以解出，因系

6、統(tǒng)僅有兩個(gè)互通的狀態(tài)，故必存在平穩(wěn)狀態(tài)，也即存在，事實(shí)上，由上式可得其中表示系統(tǒng)的負(fù)荷水平或強(qiáng)度。當(dāng)系統(tǒng)中已有一個(gè)顧客時(shí)，新來(lái)的顧客只好離去，故就是系統(tǒng)的損失概率，它等于，單位時(shí)間內(nèi)平均損失的顧客數(shù)和平均進(jìn)入系統(tǒng)的顧客數(shù)各為，；從而，。（二）多服務(wù)窗模型1.多服務(wù)窗損失制排隊(duì)模型是指系統(tǒng)內(nèi)有個(gè)服務(wù)窗，顧客按泊松流到達(dá)系統(tǒng)，其強(qiáng)度為，倘若顧客到達(dá)系統(tǒng)時(shí)發(fā)現(xiàn)個(gè)服務(wù)窗均忙著，他即離開(kāi)系統(tǒng)另求服務(wù)，又設(shè)各服務(wù)窗的服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，強(qiáng)度為。如設(shè)有多條電話線路的電話交換系統(tǒng)，不許排隊(duì)等候空位的街頭停車(chē)場(chǎng)等均屬此類(lèi)排隊(duì)類(lèi)型。2.對(duì)這類(lèi)排隊(duì)模型，其系統(tǒng)可能

7、出現(xiàn)的狀態(tài)必為中之一，這里0狀態(tài)表示個(gè)服務(wù)窗均空閑著，系統(tǒng)內(nèi)沒(méi)有顧客到達(dá)；狀態(tài)則表示系統(tǒng)內(nèi)已有個(gè)顧客，且正在某個(gè)服務(wù)窗口前被服務(wù)著，而有個(gè)服務(wù)窗空閑著。7當(dāng)系統(tǒng)處于狀態(tài)，即有某個(gè)服務(wù)窗正為個(gè)顧客服務(wù)，一旦其中一個(gè)顧客被服務(wù)畢離開(kāi)系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)便處于狀態(tài)，由于個(gè)正被服務(wù)的顧客均有先被服務(wù)畢的可能（或個(gè)服務(wù)窗從忙到閑的可能性是均等的），故從狀態(tài)轉(zhuǎn)變到狀態(tài)的轉(zhuǎn)移強(qiáng)度為。于是，平衡條件下的K氏方程為：對(duì)0狀態(tài)有，故有；對(duì)1狀態(tài)有，故有；……對(duì)k-1狀態(tài)有，故有；……對(duì)n-1狀態(tài)有，故有。利用正則性條件，可以得到的準(zhǔn)確值，由此得到相應(yīng)的值由此得到相應(yīng)的目標(biāo)參

8、量1.損失概率；2.單位時(shí)間內(nèi)平均損失的顧客數(shù)與平均進(jìn)入系統(tǒng)的顧客數(shù)；3.系統(tǒng)的相對(duì)通過(guò)能力與絕對(duì)通過(guò)能力，；4.系統(tǒng)在單位時(shí)間內(nèi)占用服