計算方法實驗指導書1

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1、第一章緒論一、主要要求通過實驗，認真理解和體會數值計算的穩(wěn)定性、精確性與步長的關系。二、主要結果回顧：1、算法：電子計算機實質上只會做加、減、乘、除等算術運算和一些邏輯運算，由這些基本運算及運算順序規(guī)定構成的解題步驟，稱為算法．它可以用框圖、算法語言、數學語言或自然語言來描述。用計算機算法語言描述的算法稱為計算機程序。（如c—語言程序，c++語言程序，Matlab語言程序等）。2、最有效的算法：應該運算量少，應用范圍廣，需用存儲單元少，邏輯結構簡單，便于編寫計算機程序，而且計算結果可靠。3、算法的穩(wěn)定性

2、：一個算法如果輸入數據有誤差，而在計算過程中舍入誤差不增長，則稱此算法是數值穩(wěn)定的，否則稱此算法為不穩(wěn)定的。換句話說：若誤差傳播是可控制的,則稱此算法是數值穩(wěn)定的,否則稱此算法為不穩(wěn)定的。4、控制誤差傳播的幾個原則：1）防止相近的兩數相減；2）防止大數吃小數；3）防止接近零的數做除數；4）要控制舍入誤差的累積和傳播；5）簡化計算步驟,減小運算次數,避免誤差積累。三、數值計算實驗（以下實驗都需利用Matlab軟件來完成）實驗1.1（體會數值計算精度與步長關系的實驗）實驗目的：數值計算中誤差是不可避免的，要

3、求通過本實驗初步認識數值分析中兩個重要概念：截斷誤差和舍入誤差，并認真體會誤差對計算結果的影響。問題提出：設一元函數f:R→R，則f在x0的導數定義為：實驗內容:根據不同的步長可設計兩種算法,計算f在x0處的導數。計算一階導數的算法有兩種：（1）（2）請給出幾個計算高階導數的近似算法，并完成如下工作：1、對同樣的h，比較(1)式和(2)式的計算結果；2、針對計算高階導數的算法，比較h取不同值時(1)式和(2)式的計算結果。33實驗要求：選擇有代表性的函數f(x)（最好多選擇幾個），利用Matlab提供的

4、繪圖工具畫出該函數在某區(qū)間的導數曲線f(s)(x)，再將數值計算的結果用Matlab畫出來，認真思考實驗的結果。實驗分析：不論采用怎樣的算法，計算結果通常都會有誤差。比如算法(1)，由Taylor公式，知：所以有利用上式來計算f’(x0)，其截斷誤差為：所以誤差是存在的，并且當步長h越來越小時，(1)的近似程度也越來越好。類似地可以分析(2)的截斷誤差為：上述截斷誤差的分析表明(2)是比(1)更好的算法，因為對步長h(<<1)，(2)比(1)更接近于f’(x0)。計算方法的截斷誤差是數值計算中誤差的重要

5、來源，但不是唯一的！！如果在實驗中確已將h取到足夠小的話，特別在高階導數的計算中，就會發(fā)現當h小到一定程度后，計算結果的誤差不但不再減少，反而會變大！(參見圖1)事實上當步長h過小時，計算結果的誤差變大就是由于舍入誤差的緣故。截斷誤差用我們原有的數學思維方式就比較容易理解的，而舍入誤差則是本課程引入的一個新概念。要真正理解舍入誤差，特別是它在計算中的傳播及最終對計算結果的影響，是初步具備科學計算能力的重要標志。希望大家在完成實驗后，認真仔細去體會截斷誤差和舍入誤差的含義及對計算結果的影響。33010-7

6、10-510-510-410-310-210-110-310-1（圖1）實驗1.2（理解誤差傳播與算法穩(wěn)定性實驗）實驗目的：體會算法的穩(wěn)定性在選擇算法中的地位。問題提出：考慮一個簡單的積分序列n=1,2,….顯然In>0,n=1,2,…當n=1時，得：當n≥2時，由分部積分可得：n=2,3,……另外，還有：實驗內容：由遞推關系In=1-nIn-1，可得計算積分序列{In}的兩種算法：算法一、直接使用遞推公式得：In=1-nIn-1n=2,3…算法二、利用遞推公式變形得：實驗要求：用上述兩種算法分別在計算

7、中采用5位、6位和733位有效數字，請判斷哪種算法給出的結果更精確。實驗分析：兩種算法的優(yōu)劣可能與你的第一感覺完全不同。設算法一中I1的誤差為e1，由I1遞推計算In的誤差為en算法二中IN的誤差為εN，由IN向前遞推計算In(n

8、差擴散的算法是不穩(wěn)定的，是我們所不期望的；誤差衰減的算法是穩(wěn)定的，是我們努力尋求的，也是貫穿本課程始終的目標。第二章一元非線性方程的解法一、主要要求編寫二分法、Newton迭代法和快速弦截法通用子程序。33二、主要結果回顧1、二分法的基本思想：二分法就是將方程的有根區(qū)間對分,然后再選擇比原區(qū)間縮小一半的有根區(qū)間,如此繼續(xù)下去,直到得到滿足精度要求的根為止的一種簡單的區(qū)間方法?；痉ㄔ恚航o定方程f(x)=0，設f(x)在區(qū)間[a，b]連續(xù),