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《反應(yīng)擴散捕食-食餌模型的全局漸近穩(wěn)定性分析》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學術(shù)論文-天天文庫。
1、共13頁河南理工大學數(shù)學與信息科學學院本科畢業(yè)論文第13頁反應(yīng)擴散捕食-食餌模型的全局漸近穩(wěn)定性分析朱文亮河南理工大學數(shù)學與信息科學學院信息與計算科學專業(yè)2010級1班摘要：本文結(jié)合數(shù)學知識對數(shù)學生態(tài)學中的捕食模型進行探討，主要是在經(jīng)典三種群Lotka-Volterra食物鏈模型的基礎(chǔ)上，加上時滯性因素，探討模型解的全局漸進穩(wěn)定性。在分析與證明過程中主要用到一些迭代知識與比較定理等。關(guān)鍵詞：全局漸進穩(wěn)定性；時滯性；Lotka-Volterra食物鏈模型§1.引言在人類自然科學中，生態(tài)學是非常重要的一部分。生態(tài)學的研究對地球環(huán)境以及人類的生存都
2、至關(guān)重要。特別是近些年，人類濫砍濫伐，破壞生態(tài)的現(xiàn)象特別嚴重，怎樣更好地利用生態(tài)學知識保護自然，保護我們共同的家園，是目前我們亟需解決的問題之一。研究生態(tài)學一般和其他學科相交叉，而生態(tài)學和數(shù)學交叉產(chǎn)生的數(shù)學生態(tài)學又是研究生態(tài)學非常重要且不可或缺的一部分。數(shù)學生態(tài)學在16世紀開始萌芽，但主要成果是在20世紀完成的。在數(shù)學生態(tài)學中有一個模型非常重要，那就是捕食模型。在自然界，到處都是食物鏈的存在，研究捕食模型是研究生態(tài)學的重要組成部分。在國內(nèi)外，研究捕食模型的著作也層出不窮。在本文中，主要對模型(1.1)運用比較原理和單調(diào)迭代方法證明平衡解的全局
3、漸近穩(wěn)定性。這是一個三種群捕食模型，在模型中，指導(dǎo)教師：馬戰(zhàn)平學生：朱文亮共13頁河南理工大學數(shù)學與信息科學學院本科畢業(yè)論文第13頁分別表示食餌、中間捕食者、捕食者的種群密度。三個種群為捕食關(guān)系，但是，它們是單向捕食，中間捕食者捕食食餌，捕食者捕食中間捕食者，并且，它們分別只捕食一種食物。在模型中，表示拉普拉斯算子，=。（i=1,2,3）分別表示三種群的擴散系數(shù)。表示食餌的內(nèi)稟增長率，表示中間捕食者、捕食者的死亡率。由于，中間捕食者只捕食食餌，捕食者只捕食中間捕食者，所以當食餌的密度為零時，中間捕食者會減少，中間捕食者為零時，捕食者只會減少。
4、模型中的（i=1,2,3）分別表示三種群自身的密度制約。分別表示中間捕食者的捕食行為對食餌種群密度的影響以及捕食者的捕食行為對中間捕食者密度的影響。分別表示食餌的種群密度對中間捕食者種群增長的影響以你中間捕食者的密度對捕食者種群增長的影響。常數(shù)表示相應(yīng)的生長時滯，也即物種從出生到成年（具有捕食能力）所需要的時間。模型中項表示中間捕食者從出生到具有捕食食餌的能力所需要的時間為;項表示中間捕食者只捕食成年的食餌，而食餌從出生到成年所需要的時間為；項表示捕食者只捕食成年的中間捕食者，從出生到成年所需要時間為.此外在模型中是外法向量.對于=0，即沒有
5、時滯的模型的解的存在性以及漸進性質(zhì)的研究已經(jīng)相當廣泛，本文則主要研究具有時滯的模型（1.1）的解的存在性以及唯一性、解的全局漸進穩(wěn)定性。首先，我們先探究解的存在唯一性。§2.三種群捕食模型解的存在唯一性為了求得解的存在唯一性，我們首先給出正性定理（參見[1]）。定理2.1設(shè)且滿足下面不等式組：(2.1)其中如果對于成立，并且當時，那么指導(dǎo)教師：馬戰(zhàn)平學生：朱文亮共13頁河南理工大學數(shù)學與信息科學學院本科畢業(yè)論文第13頁，.很明顯，系統(tǒng)（1.1）是（2.1）的特殊形式，所以我們可以得到下面的推論：推論2.1系統(tǒng)（1.1）的初值為非負，則它的任一
6、解非負為了證明解的存在唯一性，我們需要用到耦合上下解的方法，所以首先我們引入以下定義：定義2.1一對非負函數(shù)成為系統(tǒng)（1.1）的耦合上解和下解，如果在上成立，并且滿足下面不等式組：(2.2)引理2.1設(shè)是模型（1.1）在上的一組上下解，則系統(tǒng)（1.1）有唯一全局非負解，并且在上成立。引理的證明參見[1]中引理2.3的證明.如果耦合的上下解在內(nèi)都成立，即與系統(tǒng)（1.1）中的無關(guān)，則我們可以令則（2.2）中的不等式組可以寫成下面的形式：(2.3)根據(jù)引理2.1，我們可得出如下推論：推論2.2設(shè)是一對非負向量，其滿足和（2.3）中的不等式組，則如果
7、指導(dǎo)教師：馬戰(zhàn)平學生：朱文亮共13頁河南理工大學數(shù)學與信息科學學院本科畢業(yè)論文第13頁在上成立，則系統(tǒng)（1.1）有唯一非負全局解，我們設(shè)全局解為，則在上.根據(jù)以上引理和推論，我們可以得出如下定理：定理2.2對于任意非負初始函數(shù)，系統(tǒng)（1.1）存在唯一的全局非負解，其滿足，其中.證明我們可以設(shè)，（i=1,2,3）,則，并且不等式組（2.3）成立，所以根據(jù)推論2.2，我們得出是（1.1）的耦合上下解，系統(tǒng)（1.1）存在唯一的全局非負解.§3.模型的全局漸近穩(wěn)定性我們先來介紹一些已有結(jié)果.我們研究（1.1）解的全局漸進穩(wěn)定性，先對相應(yīng)的常數(shù)穩(wěn)態(tài)解進
8、行探討。系統(tǒng)（1.1）的常數(shù)穩(wěn)態(tài)解由下面系統(tǒng)求出。(3.1)系統(tǒng)（3.1.1）有平凡的非負解（0,0,0）和解（）.如果令,則由得出，系統(tǒng)有非負解：.指導(dǎo)教師：馬戰(zhàn)
