時(shí)域有限差分法論文

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1、時(shí)域有限差分法1選題背景在多種可用的數(shù)值方法中，時(shí)域有限差分法(FDTD)是一種新近發(fā)展起來(lái)的可選方法。1966年，K.S.Yee首次提出電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算的新方法—時(shí)域有限差分法(FiniteDifference-TimeDomain，簡(jiǎn)稱FDTD)。經(jīng)歷了二十年的發(fā)展FDTD法才逐漸走向成熟。上世紀(jì)80年代后期以來(lái)FDTD法進(jìn)入了一個(gè)新的發(fā)展階段，即由成熟轉(zhuǎn)為被廣泛接受和應(yīng)用的階段。FDTD法是解決復(fù)雜問(wèn)題的有效方法之一，是一種直接基于時(shí)域電磁場(chǎng)微分方程的數(shù)值算法，它直接在時(shí)域?qū)axwell旋度方程用二階精度的中心差分近似，從而將時(shí)域微分方程的求解轉(zhuǎn)

2、換為差分方程的迭代求解。是電磁場(chǎng)和電磁波運(yùn)動(dòng)規(guī)律和運(yùn)動(dòng)過(guò)程的計(jì)算機(jī)模擬。原則上可以求解任意形式的電磁場(chǎng)和電磁波的技術(shù)和工程問(wèn)題，并且對(duì)計(jì)算機(jī)內(nèi)存容量要求較低、計(jì)算速度較快、尤其適用于并行算法?，F(xiàn)在FDTD法己被廣泛應(yīng)用于天線的分析與設(shè)計(jì)、目標(biāo)電磁散射、電磁兼容、微波電路和光路時(shí)域分析、生物電磁劑量學(xué)、瞬態(tài)電磁場(chǎng)研究等多個(gè)領(lǐng)域[1]。2原理分析2.1FDTD的Yee元胞E,H場(chǎng)分量取樣節(jié)點(diǎn)在空間和時(shí)間上采取交替排布，利用電生磁，磁生電的原理圖1Yee模型如圖1所示，Yee單元有以下特點(diǎn)[2]：1）E與H分量在空間交叉放置，相互垂直；每一坐標(biāo)平面上的E分量

3、四周由H分量環(huán)繞，H分量的四周由E分量環(huán)繞；場(chǎng)分量均與坐標(biāo)軸方向一致。2）每一個(gè)Yee元胞有8個(gè)節(jié)點(diǎn)，12條棱邊，6個(gè)面。棱邊上電場(chǎng)分量近似相等，用棱邊的中心節(jié)點(diǎn)表示，平面上的磁場(chǎng)分量近似相等，用面的中心節(jié)點(diǎn)表示。3）每一場(chǎng)分量自身相距一個(gè)空間步長(zhǎng)，E和H相距半個(gè)空間步長(zhǎng)4）每一場(chǎng)分量自身相距一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)，E和H相距半個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)，電場(chǎng)取n時(shí)刻的值，磁場(chǎng)取n+0.5時(shí)刻的值；即：電場(chǎng)n時(shí)刻的值由n-1時(shí)刻的值得到，磁場(chǎng)n+0.5時(shí)刻的值由n-0.5時(shí)刻的值得到；電場(chǎng)n時(shí)刻的旋度對(duì)應(yīng)n+0.5時(shí)刻的磁場(chǎng)值，磁場(chǎng)n+0.5時(shí)刻的旋度對(duì)應(yīng)(n+0.5)+0.5

4、時(shí)刻的電場(chǎng)值，逐步外推。5）3個(gè)空間方向上的時(shí)間步長(zhǎng)相等，以保證均勻介質(zhì)中場(chǎng)量的空間變量與時(shí)間變量完全對(duì)稱。應(yīng)用這種離散方式，將含時(shí)間變量的Maxwell方程轉(zhuǎn)化為一組差分方程，并在時(shí)間軸上逐步推進(jìn)地求解空間電磁場(chǎng)。由電磁問(wèn)題的初值和邊界條件，就可以逐步推進(jìn)地求解以后各時(shí)刻空間電磁場(chǎng)分布。2.2Maxwell方程FDTD的差分格式麥克斯韋第一、二方程（1）式中，時(shí)電流密度，反映電損耗，是磁流密度，單位，反映磁損耗。主要與上式對(duì)應(yīng)。各向同性介質(zhì)中的本構(gòu)關(guān)系：（2）其中是磁阻率，計(jì)算磁損耗的。以為變量，在直角坐標(biāo)中，展開麥克斯韋第一、二方程，分別為（3）（

5、4）令代表在直角坐標(biāo)中的任何一個(gè)分量，離散符號(hào)取為（5）關(guān)于時(shí)間和空間的一階偏導(dǎo)數(shù)取中心差分近似為（6）可以看出，每一節(jié)點(diǎn)上沿某一方向場(chǎng)分量的一階偏微分可以用在該方向上相鄰兩點(diǎn)的一階中心差商來(lái)描述，將式(1)用一階中心差商方程取代，整理后便得到一階差分方程，它具有二階精度[3]。Yee元胞如圖1所示，規(guī)定為1）剖分節(jié)點(diǎn)與場(chǎng)分量所在棱邊中點(diǎn)不同，場(chǎng)分量的位置，即節(jié)點(diǎn)是Yee元胞節(jié)點(diǎn)的相對(duì)位置，不需要單獨(dú)編碼；2）當(dāng)空間存在媒質(zhì)分界面時(shí)，場(chǎng)量自動(dòng)滿足場(chǎng)的連續(xù)性條件，電磁分量的取樣方式不僅符合法拉第電磁感應(yīng)定律和安培環(huán)路定律的自然結(jié)構(gòu)，也符合麥克斯韋方程的差

6、分計(jì)算。其次，時(shí)間步長(zhǎng)可以取為電磁波傳播一個(gè)空間步長(zhǎng)所需時(shí)間的一半，因此與在時(shí)間順序上交替抽樣，時(shí)間間隔相差半個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)。2.3一維問(wèn)題均勻平面波（TEM波）是一維問(wèn)題，設(shè)電磁波沿z軸方向傳播，則，場(chǎng)量和介質(zhì)參數(shù)均與x，y無(wú)關(guān)，即，麥克斯韋方程為（7）和（8）旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸后可以只保留一組公式[4]，設(shè)保留（7）Yee元胞如圖2所示圖2一維Yee元胞差分格式為（9）（10）如果介質(zhì)無(wú)損耗，則2.4二維問(wèn)題三維通常是散射問(wèn)題，二維是TE、TM波問(wèn)題，一維是TEM波問(wèn)題。在二維場(chǎng)中，所有物理量與Z坐標(biāo)無(wú)關(guān)，既。于是在TE和TM波的表達(dá)式分別為TE波（）（11）

7、TM波（）（12）圖3分別給出了TM波和TE波的Yee元胞圖圖3TM波的Yee元胞圖4TE波的Yee元胞對(duì)于TE波，只要令，在上，不隨z變化，m中去掉k即可得到：式中：（13）式中：（14）式中，（15）對(duì)TM波，只要令，在上，不隨z變化，m中去掉k，即可得到：式中，（16）式中，（17）式中：（18）為了編寫統(tǒng)一的TE和TM波二維FDTD程序，可將描述TE波差分公式(13)～(15)中相應(yīng)的標(biāo)號(hào)整體移動(dòng)1/2，即坐標(biāo)（x,y）分別沿x和y軸方向移動(dòng)半個(gè)網(wǎng)格，并將離散時(shí)間也移動(dòng)半個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)，式(13)～(15)可以重新寫為式中：（19）式中：（20）式

8、中，（21）可以看出，TE波的FDTD公式(19)～(21)與TM波的FDTD公式(16)～(