《初等數(shù)論》習題解答

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1、《初等數(shù)論》習題集第1章第1節(jié)1.證明定理1。2.證明：若m-p?mn+pq，則m-p?mq+np。3.證明：任意給定的連續(xù)39個自然數(shù)，其中至少存在一個自然數(shù)，使得這個自然數(shù)的數(shù)字和能被11整除。4.設(shè)p是n的最小素約數(shù)，n=pn1，n1>1，證明：若p>，則n1是素數(shù)。5.證明：存在無窮多個自然數(shù)n，使得n不能表示為a2+p（a>0是整數(shù)，p為素數(shù)）的形式。第2節(jié)1.證明：12?n4+2n3+11n2+10n，n?Z。2.設(shè)3?a2+b2，證明：3?a且3?b。3.設(shè)n，k是正整數(shù)，證明：nk與nk+4的個位數(shù)字相同。4.證明：對于任何整數(shù)n，m，等式n

2、2+(n+1)2=m2+2不可能成立。5.設(shè)a是自然數(shù)，問a4-3a2+9是素數(shù)還是合數(shù)？6.證明：對于任意給定的n個整數(shù)，必可以從中找出若干個作和，使得這個和能被n整除。第3節(jié)1.證明定理1中的結(jié)論(ⅰ)—(ⅳ)。2.證明定理2的推論1,推論2和推論3。3.證明定理4的推論1和推論3。4.設(shè)x，y?Z，17?2x+3y，證明：17?9x+5y。5.設(shè)a，b，c?N，c無平方因子，a2?b2c，證明：a?b。6.設(shè)n是正整數(shù)，求的最大公約數(shù)。第4節(jié)1.證明定理1。2.證明定理3的推論。3.設(shè)a，b是正整數(shù)，證明：(a+b)[a,b]=a[b,a+b]。4.求

3、正整數(shù)a，b，使得a+b=120，(a,b)=24，[a,b]=144。155.設(shè)a，b，c是正整數(shù)，證明：。6.設(shè)k是正奇數(shù)，證明：1+2+L+9?1k+2k+L+9k。第5節(jié)1.說明例1證明中所用到的四個事實的依據(jù)。2.用輾轉(zhuǎn)相除法求整數(shù)x，y，使得1387x-162y=(1387,162)。3.計算：(27090,21672,11352)。4.使用引理1中的記號，證明：(Fn+1,Fn)=1。5.若四個整數(shù)2836，4582，5164，6522被同一個大于1的整數(shù)除所得的余數(shù)相同，且不等于零，求除數(shù)和余數(shù)各是多少？6.記Mn=2n-1，證明：對于正整數(shù)

4、a，b，有(Ma,Mb)=M(a,b)。第6節(jié)1.證明定理1的推論1。2.證明定理1的推論2。3.寫出22345680的標準分解式。4.證明：在1,2,L,2n中任取n+1數(shù)，其中至少有一個能被另一個整除。5.證明：（n32）不是整數(shù)。6.設(shè)a，b是正整數(shù)，證明：存在a1，a2，b1，b2，使得a=a1a2，b=b1b2，(a2,b2)=1，并且[a,b]=a2b2。第7節(jié)1.證明定理1。2.求使12347!被35k整除的最大的k值。3.設(shè)n是正整數(shù)，x是實數(shù)，證明：=n。4.設(shè)n是正整數(shù)，求方程x2-[x2]=(x-[x])2在[1,n]中的解的個數(shù)。15

5、5.證明：方程f(x)=[x]+[2x]+[22x]+[23x]+[24x]+[25x]=12345沒有實數(shù)解。6.證明：在n!的標準分解式中，2的指數(shù)h=n-k，其中k是n的二進制表示的位數(shù)碼之和。第8節(jié)1.證明：若2n+1是素數(shù)，則n是2的乘冪。2.證明：若2n-1是素數(shù)，則n是素數(shù)。3.證明：形如6n+5的素數(shù)有無限多個。4.設(shè)d是正整數(shù)，6d，證明：在以d為公差的等差數(shù)列中，連續(xù)三項都是素數(shù)的情況最多發(fā)生一次。5.證明：對于任意給定的正整數(shù)n，必存在連續(xù)的n個自然數(shù)，使得它們都是合數(shù)。6.證明：級數(shù)發(fā)散，此處使用了定理1注2中的記號。第2章第1節(jié)1.

6、證明定理1和定理2。2.證明定理4。3.證明定理5中的結(jié)論(ⅰ)—(ⅳ)。4.求81234被13除的余數(shù)。5.設(shè)f(x)是整系數(shù)多項式，并且f(1),f(2),L,f(m)都不能被m整除，則f(x)=0沒有整數(shù)解。6.已知99?，求a與b。第2節(jié)1.證明定理1。2.證明：若2p+1是奇素數(shù)，則(p!)2+(-1)po0(mod2p+1)。3.證明：若p是奇素數(shù)，N=1+2+L+(p-1)，則(p-1)!op-1(modN)。154.證明Wilson定理的逆定理：若n>1，并且(n-1)!o-1(modn)，則n是素數(shù)。5.設(shè)m是整數(shù)，4?m，{a1,a2,L

7、,am}與{b1,b2,L,bm}是模m的兩個完全剩余系，證明：{a1b1,a2b2,L,ambm}不是模m的完全剩余系。6.設(shè)m1,m2,L,mn是兩兩互素的正整數(shù)，di（1￡i￡n）是整數(shù)，并且dio1(modmi)，1￡i￡n，dio0(modmj)，i1j，1￡i,j￡n。證明：當bi通過模mi（1￡i￡n）的完全剩余系時，b1d1+b2d2+L+bndn通過模m=m1m2Lmn的完全剩余系。第3節(jié)1.證明定理1。2.設(shè)m1,m2,L,mn是兩兩互素的正整數(shù)，xi分別通過模mi的簡化剩余系（1￡i￡n），m=m1m2Lmn，Mi=，則M1x1+M2x

8、2+L+Mnxn通過模m的簡化剩余系。3.設(shè)m>1，