根軌跡法習題及答案

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1、第四章根軌跡法習題及答案4-1系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試證明在根軌跡上，并求出相應的根軌跡增益和開環(huán)增益。解若點在根軌跡上，則點應滿足相角條件，如圖所示。對于，由相角條件滿足相角條件，因此在根軌跡上。將代入幅值條件：解出：，4-2已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試求參數(shù)從零變化到無窮大時的根軌跡方程，并寫出時系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。（1）（2）解(1)(2)=4-3已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試繪制參數(shù)b從零變化到無窮大時的根軌跡，并寫出s=-2這一點對應的閉環(huán)傳遞函數(shù)。解根軌跡如圖。時，4-4已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函

2、數(shù)，試概略繪出系統(tǒng)根軌跡。⑴(2)(3)(4)解⑴三個開環(huán)極點：,,①實軸上的根軌跡：,②漸近線：③分離點：解之得：，(舍去)。④與虛軸的交點：特征方程為令解得與虛軸的交點（0，）。根軌跡如圖所示。⑵根軌跡繪制如下：①實軸上的根軌跡：,②分離點：解之得：。根軌跡如圖所示。⑶根軌跡繪制如下：①實軸上的根軌跡：,②漸近線：③分離點：用試探法可得。根軌跡如圖所示。(4)根軌跡繪制如下：①實軸上的根軌跡：[0,1],[-1,-2]②分離點：求解得：根軌跡如圖所示。4-5已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為要求：(1)繪制系統(tǒng)的根軌跡；

3、(2)確定系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時開環(huán)增益k的值；(3)確定系統(tǒng)臨界阻尼比時開環(huán)增益k的值。解(1)①實軸上的根軌跡：[0,-50],[-100,-]②分離點：求解得③漸近線：根軌跡如圖所示。(2)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時(3)系統(tǒng)臨界阻尼比時4-6已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，要求繪制根軌跡并確定系統(tǒng)階躍響應無超調時開環(huán)增益k的取值范圍。解①實軸上的根軌跡：②漸近線：③分離點：解之得：。④與虛軸交點：把代入上方程，整理，令其實、虛部分別為零得：解得：⑤起始角：由相角條件，。根軌跡如圖所示。所有根為負實根時階躍響應無超調，此時所以4-7單位反饋系

4、統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，試繪制系統(tǒng)根軌跡，并確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的k值范圍。解：根軌跡繪制如下：①實軸上的根軌跡：②漸近線：③與虛軸交點：閉環(huán)特征方程為把代入上方程，令解得：，根軌跡如圖所示。由圖可知使系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍為。4-8已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試繪制系統(tǒng)根軌跡（要求求出起始角）。解根軌跡繪制如下：①實軸上的根軌跡：②漸近線：③分離點：解之得：(舍去)④　與虛軸交點：閉環(huán)特征方程為把代入上方程，令解得：⑤　起始角：解出根軌跡如圖所示。4-9已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試分別繪制以a和T為變化參數(shù)的根軌跡。(1)，；(2)

5、，解(1)①實軸上的根軌跡：②漸近線：③分離點：根軌跡如圖所示。(2)①實軸上的根軌跡：②起始角終止角：解得起始角解得終止角根軌跡如圖所示。4-10已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試概略繪出相應的根軌跡，并求出所有根為負實根時開環(huán)增益k的取值范圍及系統(tǒng)穩(wěn)定時k的值。解①實軸上的根軌跡：②分離點：，③漸近線：，④與虛軸交點：，根軌跡如圖所示。，，結論：時所有根為負實根，時系統(tǒng)穩(wěn)定。4-11已知系統(tǒng)結構圖如圖所示，試繪制時間常數(shù)變化時系統(tǒng)的根軌跡，并分析參數(shù)的變化對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響。解：作等效開環(huán)傳遞函數(shù)根軌跡繪制如下：（注意：

6、①實軸上的根軌跡：,②分離點：解得。根據(jù)幅值條件，對應的。③虛軸交點：閉環(huán)特征方程為把代入上方程，整理，令實虛部分別為零得：解得：④起始角：參數(shù)從零到無窮大變化時的根軌跡如圖所示。(請注意根軌跡的方向！)從根軌跡圖可以看出，當時，系統(tǒng)階躍響應為單調收斂過程；時，階躍響應為振蕩收斂過程；時，有兩支根軌跡在s右半平面，此時系統(tǒng)不穩(wěn)定。若取另外一種等效開環(huán)傳遞函數(shù)則解題步驟如下：三條根軌跡中兩條起于-10，一條起于，均終止于原點①實軸上的根軌跡：,②分離點：解得。其余步驟與上基本相同，根軌跡相同，只是-10處為兩個開環(huán)極點，原點

7、處為3個開環(huán)零點，根軌跡方向與圖中一樣。4-12控制系統(tǒng)的結構如圖所示，試概略繪制其根軌跡()。解此系統(tǒng)為正反饋系統(tǒng)，應繪零度根軌跡。①實軸上的根軌跡：,②分離點：解得③起始角：根據(jù)相角條件，得，，。根軌跡如圖所示。4-13設單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，試繪制其根軌跡，并求出使系統(tǒng)產(chǎn)生重實根和純虛根的值。解由開環(huán)傳遞函數(shù)的表達式知需繪制根軌跡。①實軸上的根軌跡：；②分離點：解得：,將,代入幅值條件得：,③與虛軸交點：閉環(huán)特征方程為把代入上方程，整理，令實虛部分別為零得：解得：根軌跡如圖所示，復平面上的根軌跡為以開環(huán)零點為

8、圓心，開環(huán)零點到分離點的距離為半徑的圓。系統(tǒng)產(chǎn)生重實根的為0.54，7.46，產(chǎn)生純虛根的為2。