混沌圖像加密方法之基于分數(shù)傅里葉變換加密

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1、混沌圖像加密方法之基于分數(shù)傅里葉變換加密在以互聯(lián)網(wǎng)為代表的數(shù)字信息技術(shù)飛速發(fā)展的今天，越來越多的場合需要用數(shù)字加密保護處理。為此我們利用離散分數(shù)傅里葉變換(DFRFT)提出了一種數(shù)字圖像文件加密變換算法。分數(shù)傅里葉變換如今在光學信息處理領(lǐng)域已有比較廣泛的應用。數(shù)本文將這種加密算法同傳統(tǒng)混沌加密方法相結(jié)合，能夠獲得較高的保密效果。一、數(shù)字圖像的分數(shù)傅里葉變換1、分數(shù)傅里葉變換的定義和性質(zhì)以一維為例討論，設(shè)輸入信號為f(x)，則其p階分數(shù)傅里葉變換定義為：其中，常數(shù)為：p(o<

2、p

3、<2)為分數(shù)階，φ=p.（π/2）。特別地，當p=1時，上述分數(shù)傅里葉變換即為普通傅里葉變換。由此定義可得出

4、分數(shù)傅里葉變換的兩條重要性質(zhì)：（1）可加性：fp1(fp2)=fp1+p2；（2）周期性：當p1+p2=4n時，fp1+p2=f，其中n為整數(shù)。2、分數(shù)傅里葉變換的數(shù)值計算對分數(shù)傅里葉變換的定義進行離散化處理，分數(shù)傅里葉變換的數(shù)值計算可通過7個步驟得到：（1）初始化；（2）由采樣定理對輸入信號和啁啾信號進行離散化處理得到f(n)，（-N／2

5、，不會對理論分析造成影響，因為常數(shù)位相因子不改變分數(shù)傅里葉變換的分布，只是使位相增加了一個共同的移動。算法的結(jié)果很容易擴展到二維可分離變量情況。3、數(shù)字圖像的離散分數(shù)傅里葉變換數(shù)字圖像的離散分數(shù)傅里葉變換是二維的，變換過程可轉(zhuǎn)換為兩次一維離散分數(shù)傅里葉變換，轉(zhuǎn)換步驟如下：（1）對數(shù)字圖像的行向量進行一維離散分數(shù)傅里葉變換，變換階數(shù)為px，得變換結(jié)果F1；（2）對F1的列向量進行一維離散分數(shù)傅里葉變換，變換階數(shù)為py，得到變換結(jié)果F2；（3）對F2進行轉(zhuǎn)置，得到的結(jié)果就是二維離散分數(shù)傅里葉的變換結(jié)果。二、混沌系統(tǒng)和圖像空間域置亂1、混沌系統(tǒng)混沌現(xiàn)象是在非線性動力系統(tǒng)中出現(xiàn)的確定性類似隨機

6、的過程，這種過程既非周期又不收斂，并且對初始值有極其敏感的依賴性。從時域上看，混沌映射得到的序列類似于隨機序列，相關(guān)性較弱，具有很好的類白噪聲特性，因此可以用來產(chǎn)生偽隨機信號或偽隨機碼。原理上只要增加迭代次數(shù)，偽隨機碼的周期可以很長，產(chǎn)生長碼十分簡單。通過混沌系統(tǒng)對初始值和結(jié)構(gòu)參數(shù)的敏感依賴性，可以提供數(shù)量眾多、非相關(guān)、類隨機而又確定可再生的信號。由于上述特點，混沌已廣泛應用于保密通信中，同時也可以作為加密序列?；煦缂用芗夹g(shù)已成為一種新興的加密技術(shù)。一類非常簡單卻被廣泛研究的動力系統(tǒng)是logistic映射，其定義如下：其中，0<μ<4稱為分枝參數(shù)，xk∈(0，1)定義同上?；煦鐒恿ο到y(tǒng)

7、的研究工作指出，當3.5699456…<μ≤4時，logistic映射工作于混沌態(tài)。也就是說，由初始條件xo在logistic映射的作用下所產(chǎn)生的序列{Xk；k=0，1，2，3…）是非周期的、不收斂的，并對初始值非常敏感。另一類簡單的映射是Chebyshev映射，以階數(shù)為參數(shù)。k階Chebyshev映射定義如下：其中，xk的定義區(qū)間是(-1，1)。事實是通過簡單的變量代換，logistic映射同樣可以在區(qū)間(-1，1)上定義。其形式如下：其中，λ∈[0，2]。在λ=2的滿射條件下，logistic映射與Chebyshev映射是拓撲共軛的，其所生成的序列的概率分布函數(shù)PDF(probab

8、ilitydensityfunction)也是相同的：對于式（2）形式的logistic映射，如果μ=4，PDF可改寫為：通過ρ（x），可以很容易地計算得到logistic映射所產(chǎn)生的混沌序列的一些很有意義的統(tǒng)計特性。例如，x的時間平均即混沌序列軌跡點的均值為：關(guān)于相關(guān)函數(shù)，獨立選取兩個初始值xo和yo，則序列的互相關(guān)函數(shù)為：注意聯(lián)合pdfρ(x，y)=ρ(x)*ρ(y)。而序列的自相關(guān)函數(shù)(auto-correlationfunctions，ACF)則等于delta函數(shù)θ(1)。Logistic序列的以上特性表明，混沌動力系統(tǒng)具有確定性，其遍歷統(tǒng)計特性等同于白噪聲，其具有形式簡單，初

9、始條件的敏感性和具備白噪聲的統(tǒng)計特性等諸多特性。2、混沌二維置換網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計密碼學中使用置換來進行數(shù)據(jù)變換，主要有兩種作用：（1）對數(shù)據(jù)內(nèi)容作不可預測的替換；（2）改變數(shù)據(jù)在數(shù)據(jù)序列中的位置，即隨機換位。對于第（2）種置換網(wǎng)絡(luò)也稱為置亂網(wǎng)絡(luò)。本文采用一種二維混沌置亂方法來應用于圖像的加密。置換網(wǎng)絡(luò)的目的是利用若干步驟的變換，打亂原來元素的位置，使原來有規(guī)則的元素分布在多次變換后顯現(xiàn)無規(guī)則、接近隨機的分布，從而起到信息保密的作用。這里將混沌序列引入