多元函數(shù)極值ppt課件

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1、醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四節(jié)多元函數(shù)的極值二、條件極值一、二元函數(shù)的極值一、二元函數(shù)的極值定義4-6設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義,對(duì)于該鄰域內(nèi)異于的點(diǎn)都滿足不等式極大值、極小值統(tǒng)稱為極值;使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).則稱函數(shù)在點(diǎn)有極小值(極大值);.為函數(shù)極小值點(diǎn)(極大值點(diǎn)).例例例從以上例子看出:若函數(shù)在某點(diǎn)取得極值,這點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)等于零或不存在.下面介紹極值存在的必要條件與充分條件.定理4-5（必要條件)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)取得極值,且在該點(diǎn)處兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)都存在,則必有證明不妨設(shè)在點(diǎn)處有極大值則對(duì)于的某鄰域內(nèi)任意都有類似地可證.必有說明一元函數(shù)在處有極大值故當(dāng)，時(shí)

2、，與一元函數(shù)相同，我們稱一階偏導(dǎo)數(shù)都等于零的點(diǎn)為函數(shù)的駐點(diǎn).如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)呢?定理4-6（充分條件）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),又，.(2)極值點(diǎn)也可能不是駐點(diǎn).因?yàn)槠珜?dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)，如錐面在頂點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)不存在，但頂點(diǎn)是極值點(diǎn).注意(1)駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).例如,點(diǎn)是函數(shù)的駐點(diǎn),但不是極值點(diǎn).令則有（1）當(dāng)時(shí),函數(shù)在點(diǎn)處具有極值,且當(dāng)時(shí)有極大值,時(shí)有極小值；（3）當(dāng)時(shí),可能有極值,也可能沒有極值，還需另作討論.（2）當(dāng)時(shí),函數(shù)在點(diǎn)沒有極值；由此可得求二元可微函數(shù)極值的一般步驟：第一步求函數(shù)的一階和二階

3、偏導(dǎo)數(shù);第二步解方程組,可求得所有駐點(diǎn);第四步求出各極值點(diǎn)的函數(shù)值對(duì)每個(gè)駐點(diǎn),求出相應(yīng)的二階偏導(dǎo)數(shù)A、B、C的值,并根據(jù)的符號(hào)判別各駐點(diǎn)是否是極值點(diǎn),是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn);第三步例4-28求函數(shù)的極值.解求方程組得駐點(diǎn).又在點(diǎn)處,且故是極小值點(diǎn),極小值為.在點(diǎn)處,故不是極小值點(diǎn).在點(diǎn)處,故不是極小值點(diǎn).在點(diǎn)處,且故是極大值點(diǎn),極大值為.求最值的一般方法：（1）求函數(shù)在D內(nèi)的所有駐點(diǎn)和偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；（2）求出函數(shù)在D內(nèi)的所有駐點(diǎn)和偏導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)處的函數(shù)值,以及在區(qū)域邊界上的最大值和最小值；（3）相互比較函數(shù)值的大小，其中最大者即為最大值，最小者即

4、為最小值.與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值.二元函數(shù)的最值例4-29求函數(shù)在圓域上的最大值.解顯然,函數(shù)在圓周上的值到處是.令得駐點(diǎn),所以在處取得最大值2.在很多實(shí)際問題中,根據(jù)問題本身的性質(zhì),知道函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)一定能取到最大值(最小值),又如果函數(shù)在D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn),那么這駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是f(x,y)在D上的最大值(最小值),而不必再進(jìn)行檢驗(yàn).例4-30要制作一個(gè)容量V為長(zhǎng)方體箱子，問如何選擇尺寸，才能使所用材料最??？此水箱的用料面積解設(shè)箱子的長(zhǎng)為,寬為,則其高為.所以當(dāng)水箱的長(zhǎng)、寬、高均為時(shí)，水箱所用

5、的材料最省.令根據(jù)題意可知，水箱所用材料的面積的最小值一定存在，并在開區(qū)域D內(nèi)取得.又函數(shù)在D內(nèi)只有唯一的駐點(diǎn)，因此可斷定當(dāng)時(shí)，S取得最小值條件極值對(duì)自變量有附加條件的極值．無條件極值對(duì)自變量除有定義域的限制外無任何其它條件限制的極值．二、條件極值條件極值還可以應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法來計(jì)算.問題求目標(biāo)函數(shù)在約束條件下的極值.求解步驟(1)構(gòu)造輔助函數(shù)(lagrange函數(shù))(為常數(shù))(2)對(duì)函數(shù)分別關(guān)于、、求偏導(dǎo)數(shù),并令其等于零,得方程組(3)解方程組,若是方程組的解,則是可能的條件極值點(diǎn)(4)判別是否為極值點(diǎn).在實(shí)際問題中,可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判定.

6、例4-31某工廠生產(chǎn)兩種型號(hào)的儀器,其產(chǎn)量分別為臺(tái)和臺(tái),兩種儀器的產(chǎn)量與所需的成本的關(guān)系可以用一個(gè)以應(yīng)變量z為成本、以自變量(x,y)為兩種儀器產(chǎn)量的函數(shù)表示:(單位:萬元).若根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查預(yù)測(cè),需這兩種儀器共8臺(tái),問應(yīng)如何安排生產(chǎn),才能使成本最小?構(gòu)造拉格朗日函數(shù)解本題歸結(jié)為:求函數(shù)在約束條件下的最小值.解方程組得唯一解由于實(shí)際問題的最小值存在，、是唯一的駐點(diǎn)，故、是本題的最小值點(diǎn).即：兩種型號(hào)的儀器各生產(chǎn)5臺(tái)和3臺(tái)時(shí),總成本達(dá)最小,最小成本為(萬元)1.二元函數(shù)的極值2.取得極值的必要條件、充分條件3.二元函數(shù)的最值主要內(nèi)容4.無條件極值條件極值

7、作業(yè)：思考與練習(xí)1.2.3.4.