1-1-4導(dǎo)數(shù)與積分的概念及運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

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1、第一部分 高考專題講解專題一 集合、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第四講導(dǎo)數(shù)與積分的概念及運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)已成為高考命題的一個重要載體.通過導(dǎo)數(shù)可以實(shí)現(xiàn)函數(shù)與不等式、方程、解析幾何等多個知識點(diǎn)的交匯,并且在求解導(dǎo)數(shù)應(yīng)用方面的試題中可以滲透各種重要的數(shù)學(xué)思想方法,如:數(shù)形結(jié)合、分類討論、等價轉(zhuǎn)化等,因此導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用是高考的一個熱點(diǎn).高考試題中對導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的考查,既有客觀題,也有主觀題,客觀題側(cè)重于對單調(diào)性和極值、最值的考查,主觀題則側(cè)重于導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,即導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、不等式、方程、數(shù)列、解析幾何等的綜合,在利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)、方程、不等式等方面的綜合問題時,要注意函數(shù)與方程、分類討

2、論、等價轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等思想方法的運(yùn)用.1.可導(dǎo)函數(shù)中,x0為極值點(diǎn),則f′(x0)=0,但是f′(x0)=0是x0為極值點(diǎn)的必要非充分條件.例如,y=x3在x=0處f′(0)=0,但是f(x)在x=0處無極值.2.求可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟:(1)確定定義域區(qū)間;(2)求f′(x);(3)解不等式f′(x)>0,得函數(shù)的遞增區(qū)間;解不等式f′(x)<0,得函數(shù)的遞減區(qū)間.注意:當(dāng)一個函數(shù)的遞增或遞減區(qū)間有多個時,不能盲目地將它們?nèi)〔⒓?.求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟:(1)求導(dǎo)數(shù)f′(x);(2)求方程f′(x)=0的根;(3)檢驗(yàn)f′(x)在方程

3、f′(x)=0的根的左右兩側(cè)的符號,如果在根的左側(cè)附近為正,右側(cè)附近為負(fù),那么函數(shù)f(x)在這個根處取得極大值;如果在這個根的左側(cè)附近為負(fù),右側(cè)附近為正,那么函數(shù)f(x)在這個根處取得極小值.4.注意極值與最值的區(qū)別與聯(lián)系:極值是在某一點(diǎn)附近函數(shù)值的比較,因此,同一函數(shù)在某一點(diǎn)的極大(小)值,可以比另一點(diǎn)的極小(大)值小(大);而最大值、最小值是指閉區(qū)間[a,b]上所有函數(shù)值的比較,因而在一般情況下,兩者有區(qū)別的,極大(小)值不一定是最大(小)值,最大(小)值也不一定是極大(小)值.但如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)只有一個極值,那么極大值就是最大值,極小值就

4、是最小值.5.用導(dǎo)數(shù)解決與恒成立有關(guān)的不等式問題通常與函數(shù)的最值或極值有密切的聯(lián)系.我們可以通過求最值把不等式恒成立轉(zhuǎn)化為一個不等式進(jìn)行求解.6.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)過程就是對復(fù)合函數(shù)由外層逐層向里求導(dǎo).每次求導(dǎo)都針對著最外層,直到求到最里層為止.所謂最里層是指可以直接應(yīng)用基本公式進(jìn)行求導(dǎo)的那一層.[答案]C[答案]D[解析]從圖象可知,f′(x)>0,g′(x)>0,因此函數(shù)y=f(x),y=g(x)都是單調(diào)遞增函數(shù).又因?yàn)閥=f′(x)是遞減的,y=g′(x)是遞增的,故根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知,y=f(x)遞增得慢,y=g(x)遞增得快,由此排除A和B.又f′

5、(x0)=g′(x0),所以函數(shù)y=f(x),y=g(x)的圖象在x0點(diǎn)處的切線的斜率相等,因此在x0處的切線應(yīng)該是互相平行的,由此可知D選項(xiàng)正確.[答案]D[點(diǎn)評]一般地,如果在區(qū)間I上f′(x)>0,那么y=f(x)在I上單調(diào)遞增,如果在區(qū)間I上f′(x)<0,那么y=f(x)在I上單調(diào)遞減.因此在通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象之間的關(guān)系時,對于原函數(shù),我們應(yīng)關(guān)注它在哪個區(qū)間上遞增,哪個區(qū)間上遞減;而對于導(dǎo)函數(shù),則應(yīng)考查其在哪個區(qū)間上大于0,哪個區(qū)間上小于0.[解](1)函數(shù)的定義域是(0,+∞),又f′[解](1)當(dāng)a=-1時,f(x)=x2·e-x,f′(x)

6、=-x·(x-2)·e-x.當(dāng)x在[-1,1]上變化時,f′(x),f(x)的變化情況如下表:∴x∈[-1,1]時,f(x)max=f(-1)=e,f(x)min=f(0)=0.[點(diǎn)評]一般地,若已知不等式在區(qū)間I上恒成立,求不等式中所含參數(shù)的取值范圍問題,都可以借助導(dǎo)數(shù),根據(jù)不等式恒成立問題的解法(如:分離參數(shù)求最值、數(shù)形結(jié)合等)進(jìn)行求解.首先進(jìn)行分離參數(shù),然后利用導(dǎo)數(shù)求出分離參數(shù)后不等式一邊的函數(shù)(或代數(shù)式)的最大值(或最小值),進(jìn)而得到參數(shù)的取值范圍,即當(dāng)a>f(x)恒成立時,只需a>f(x)max;當(dāng)a

7、究】(2011·山西太原模擬)煙囪向其周圍地區(qū)散落煙塵造成環(huán)境污染.如圖,已知A、B兩座煙囪相距20km,其中B煙囪噴出的煙塵量是A煙囪的8倍,經(jīng)環(huán)境檢測表明:落在地面某處的煙塵濃度與該處到煙囪距離的平方成反比,而與煙囪噴出的煙塵量成正比(比例系數(shù)為k).若C是AB連線上的點(diǎn),設(shè)AC=xkm,C點(diǎn)的煙塵濃度記為y.(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式;(2)是否存在這樣的點(diǎn)C,使該點(diǎn)的煙塵濃度最低?若存在,求出AC的距離;若不存在,說明理由.1.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系在某個區(qū)間(a,b)內(nèi),如果f′(x)>0,那么函數(shù)f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;如果f′(x)

8、<0,那么函數(shù)f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減;如果f′

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