分形理論和其發(fā)展歷程

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1、分形理論及其發(fā)展歷程作者:何黨生原創(chuàng)2007-06-1410:14閱讀:408【給此文投票】共1票【收藏】【舉報】關(guān)鍵字：分形理論?　　　　被譽為大自然的幾何學(xué)的分形（Fractal）理論，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個新分支，但其本質(zhì)卻是一種新的世界觀和方法論。它與動力系統(tǒng)的混沌理論交叉結(jié)合，相輔相成。它承認(rèn)世界的局部可能在一定條件下。過程中，在某一方面（形態(tài)，結(jié)構(gòu)，信息，功能，時間，能量等）表現(xiàn)出與整體的相似性，它承認(rèn)空間維數(shù)的變化既可以是離散的也可以是連續(xù)的，因而拓展了視野。　　分形幾何的概念是美籍法國數(shù)學(xué)家曼

2、德爾布羅特（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯（K.Weierestrass）構(gòu)造了處處連續(xù)但處處不可微的函數(shù)，集合論創(chuàng)始人康托（G.Cantor，德國數(shù)學(xué)家）構(gòu)造了有許多奇異性質(zhì)的三分康托集。1890年，意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾（G.Peano）構(gòu)造了填充空間的曲線。1904年，瑞典數(shù)學(xué)家科赫（H.vonKoch）設(shè)計出類似雪花和島嶼邊緣的一類曲線。1915年，波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基（W.Sierpinski）設(shè)計了象地毯和海綿一樣的幾何

3、圖形。這些都是為解決分析與拓樸學(xué)中的問題而提出的反例，但它們正是分形幾何思想的源泉。1910年，德國數(shù)學(xué)家豪斯道夫（F.Hausdorff）開始了奇異集合性質(zhì)與量的研究，提出分?jǐn)?shù)維概念。1928年布利干（G.Bouligand）將閔可夫斯基容度應(yīng)用于非整數(shù)維，由此能將螺線作很好的分類。1932年龐特里亞金（L.S.Pontryagin）等引入盒維數(shù)。1934年，貝塞考維奇（A.S.Besicovitch）更深刻地提示了豪斯道夫測度的性質(zhì)和奇異集的分?jǐn)?shù)維，他在豪斯道夫測度及其幾何的研究領(lǐng)域中作出了主要貢獻(xiàn)

4、，從而產(chǎn)生了豪斯道夫-貝塞考維奇維數(shù)概念。以后，這一領(lǐng)域的研究工作沒有引起更多人的注意，先驅(qū)們的工作只是作為分析與拓?fù)鋵W(xué)教科書中的反例而流傳開來?！　《?960年，曼德爾布羅特在研究棉價變化的長期性態(tài)時，發(fā)現(xiàn)了價格在大小尺度間的對稱性。同年在研究信號的傳輸誤差時，發(fā)現(xiàn)誤差傳輸與無誤差傳輸在時間上按康托集排列。在對尼羅河水位和英國海岸線的數(shù)學(xué)分析中，發(fā)現(xiàn)類似規(guī)律。他總結(jié)自然界中很多現(xiàn)象從標(biāo)度變換角度表現(xiàn)出的對稱性。他將這類集合稱作自相似集，其嚴(yán)格定義可由相似映射給出。他認(rèn)為，歐氏測度不能刻劃這類集的本質(zhì)，

5、轉(zhuǎn)向維數(shù)的研究，發(fā)現(xiàn)維數(shù)是尺度變換下的不變量，主張用維數(shù)來刻劃這類集合。1975年，曼德爾布羅特用法文出版了分形幾何第一部著作《分開：形狀、機遇和維數(shù)》。1977年該書再次用英文出版。它集中了1975年以前曼德爾布羅特關(guān)于分形幾何的主要思想，它將分形定義為豪斯道夫維數(shù)嚴(yán)格大于其拓樸維數(shù)的集合，總結(jié)了根據(jù)自相似性計算實驗維數(shù)的方法，由于相似維數(shù)只對嚴(yán)格自相似這一小類集有意義，豪斯道夫維數(shù)雖然廣泛，但在很多情形下難以用計算方法求得，因此分形幾何的應(yīng)用受到局限。1982年，曼德爾布羅特的新著《自然界的分形幾何

6、》出版，將分形定義為局部以某種方式與整體相似的集，重新討論盒維數(shù)，它比豪斯道夫維數(shù)容易計算，但是稠密可列集盒維數(shù)與集所在空間維數(shù)相等。為避免這一缺陷，1982年特里科特（C.Tricot）引入填充維數(shù)，1983年格拉斯伯格（P.Grassberger）和普羅克西婭（I.Procaccia）提出根據(jù)觀測記錄的時間數(shù)據(jù)列直接計算動力系統(tǒng)吸引子維數(shù)的算法。1985年，曼德爾布羅特提出并研究自然界中廣泛存在的自仿射集，它包括自相似集并可通過仿射映射嚴(yán)格定義。1982年德金（F.M.Dekking）研究遞歸集，這

7、類分形集由迭代過程和嵌入方法生成，范圍更廣泛，但維數(shù)研究非常困難。德金獲得維數(shù)上界。1989年，鐘紅柳等人解決了德金猜想，確定了一大類遞歸集的維數(shù)。隨著分形理論的發(fā)展和維數(shù)計算方法的逐步提出與改進(jìn)，1982年以后，分形理論逐漸在很多領(lǐng)域得到應(yīng)用并越來越廣泛。建立簡便盛行的維數(shù)計算方法，以滿足應(yīng)用發(fā)展的需要，還是一項艱巨的任務(wù)。自然界中的分形，與概率統(tǒng)計、隨機過程關(guān)系密切。確定性的古典分形集加入隨機性，就會產(chǎn)生出隨機康托集、隨機科契曲線等各種隨機分形。1968年，曼德爾布羅特研究布朗運動這一隨機過程時，將

8、其推廣到與分形有關(guān)的分?jǐn)?shù)布朗運動。1974年他又提出了分形滲流模型。1988年，柴葉斯（j.T.Chayes）給出了詳細(xì)的數(shù)學(xué)分析。1984年，扎樂（U.Zahle）通過隨機刪除而得到十分有趣的分形構(gòu)造，隨機分形能更真實地描述和模擬自然現(xiàn)象?！　∪　恿ο到y(tǒng)中的分形集是近年分形幾何中最活躍和引人入勝的一個研究領(lǐng)域。動力系統(tǒng)的奇異吸引子通常都是分形集，它們產(chǎn)生于非線性函數(shù)的迭代和非線性微分方程中。1963年，氣象學(xué)家洛倫茲（E.N.Lore