動(dòng)點(diǎn)軌跡方程常見求法

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1、動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的常見求法湖南省臨澧縣第一中學(xué)朱福文胡鷗415200一、待定系數(shù)法；它常常適用于動(dòng)點(diǎn)軌跡的曲線類型已知或利用已知條件可直接推斷出其軌跡的曲線方程。其解題步驟為：先設(shè)出對(duì)應(yīng)類型的軌跡方程；再求出所設(shè)方程中的待定系數(shù)。例1、已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，焦距為2，另一雙曲線和橢圓有公共焦點(diǎn)，且橢圓的半長軸比雙曲線的半實(shí)軸大4，橢圓的離心率和雙曲線的離心率之比為3/7。求橢圓和雙曲線的方程。解：如果雙曲線和橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，即橢圓的長軸、雙曲線的實(shí)軸在x軸上，那么可設(shè)橢圓方程為+=1，雙曲線的方程為

2、－=1。2c=2,c=.a–m=4,:=,a=7,m=3.b=a－c=36,n=c－m=4.橢圓方程為+=1，雙曲線的方程為－=1；如果雙曲線和橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，同理可得：橢圓方程為+=1，雙曲線的方程為－=1。二、直譯解析法；該方法的主要思路就是將題目中的幾何條件直接翻譯為代數(shù)條件。它主要通過建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡、討論等步驟得到所求的曲線軌跡方程。例2、已知兩定點(diǎn)A、B，=3，求使∠PBA=2∠PAB成立的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。解：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB為x軸的正半軸，y建立直角坐標(biāo)系如右圖：P(x,y)則

3、B點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),∠PAB=,則∠PBA=2ABx=K=tg(－2)=-tg25===y=0(0

4、線的下支，>，其軌跡方程為：y－=1(y-1)四、幾何性質(zhì)法；根據(jù)動(dòng)點(diǎn)所滿足的平面幾何性質(zhì)得到等量關(guān)系求出其軌跡方程。例4、已知圓O：x+y=16及點(diǎn)A(2,0)，求過A且與圓O相切的諸圓圓心P的軌跡方程。解：如右圖：過A且與圓O相切的圓，只能與圓O相內(nèi)切，根據(jù)兩圓相內(nèi)切的性質(zhì)：連心線必過其切點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)為M，則O、P、M共線，=+。又因?yàn)锳在圓P上，y=。+==4。M故P的軌跡是以O(shè)、A為焦點(diǎn)，長軸長為P=4的橢圓。OAx故P的軌跡方程：+=1。五、相關(guān)點(diǎn)法；5若動(dòng)點(diǎn)P(x,y)依賴于某已知曲線上的另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P(

5、x,y)而運(yùn)動(dòng)，且x,y可用x,y表示，則將P(x,y)代入已知曲線，求出P點(diǎn)的軌跡方程。此法也稱代入法或轉(zhuǎn)移法。例5、定點(diǎn)A(3,0)為圓x+y=1外一定點(diǎn)，P為圓上任一點(diǎn)，（除出圓與x軸的交點(diǎn)）,∠POA的平分線交PA于點(diǎn)Q,求出Q點(diǎn)的軌跡方程。解：如右圖：設(shè)Q(x,y),P(x,y),由于OQ平分∠POA,則有：yQO===3，即Q分AP的比為3，P由定比分點(diǎn)公式得：BOCAx{解得{代入x+y=1得：（x－）+y=。六、復(fù)數(shù)法；利用復(fù)數(shù)的幾何意義，把動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)看成是復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量的旋轉(zhuǎn)與模的伸長與縮短而得

6、出所求的軌跡方程。例6、已知橢圓+=1的右焦點(diǎn)為F，B為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，ΔFAB為正三角形，且F、A、B為逆時(shí)針方向排序，求出A點(diǎn)的軌跡方程。解：設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是Z，依題意復(fù)數(shù)滿足方程：+=6。設(shè)點(diǎn)A所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是Z，因?yàn)镕、A、B為逆時(shí)針方向排序，ΔFAB為正三角形，所以向量可由向量沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而得到。Z－2=(Z–2)(cos+isin)①yOFZ+2=(1+)(Z－2i)②A對(duì)①、②兩式分別取模后相加得：+=+=65故A點(diǎn)的軌跡的復(fù)數(shù)方程為：+=6。七、引參消參法；若題目出現(xiàn)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所受限

7、制條件較多，不易直接建立x、y的某種聯(lián)系，但且發(fā)現(xiàn)x、y同時(shí)受到另外一個(gè)變量t（如角度、斜率、截距等）的制約而將它們用t表示，然后通過消去變量t而得到所要求的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程f(x,y)=0。例7、過點(diǎn)M(-2,0)作直線L交雙曲線x－y=1于A、B兩點(diǎn)，以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OAPB。求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。解：設(shè)過M的直線方程為:y=k(x+2)(k0，k1)，代入雙曲線x－y=1得：（1－k）x－4kx－4k－1=0OAPB為平行四邊形，則：x=x+x=；yy=y+y=k(x+x)+4k=。P消去k得x－

8、y+4xp=0MOx當(dāng)L⊥x軸時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，0），也滿足上述方程。而由k0，得x0。故所求的軌跡方程為：x－y+4x=0(x0)。八、交軌法；它常常適用于出現(xiàn)需求兩曲線交點(diǎn)的軌跡方程問題，解此類問題往往需借助解方程組得出含有某參數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，再消去參數(shù)而得到所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。例8、已知橢圓+=1（a>b>0）和定點(diǎn)A(0,b),B(0,-b),C是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),