復(fù)雜系統(tǒng)決策模型及層次分析法

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1、§3.4復(fù)雜系統(tǒng)決策模型與層次分析法AnaliticHierachyProcess(AHP)T.L.Saaty1970’一種定性和定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化、層次化的分析方法。一.問題舉例1.在海爾、新飛、容聲和雪花四個(gè)牌號(hào)的電冰箱中選購(gòu)一種。要考慮品牌的信譽(yù)、冰箱的功能、價(jià)格和耗電量。2.在泰山、杭州和承德三處選擇一個(gè)旅游點(diǎn)。要考慮景點(diǎn)的景色、居住的環(huán)境、飲食的特色、交通便利和旅游的費(fèi)用。3.在基礎(chǔ)研究、應(yīng)用研究和數(shù)學(xué)教育中選擇一個(gè)領(lǐng)域申報(bào)科研課題。要考慮成果的貢獻(xiàn)（實(shí)用價(jià)值、科學(xué)意義），可行性（難

2、度、周期和經(jīng)費(fèi)）和人才培養(yǎng)。二.模型和方法1.層次結(jié)構(gòu)模型的構(gòu)造步驟一：確定層次結(jié)構(gòu)，將決策的目標(biāo)、考慮的因素（決策準(zhǔn)則）和決策對(duì)象按它們之間的相互關(guān)系分為最高層、中間層和最低層，繪出層次結(jié)構(gòu)圖。最高層：決策的目的、要解決的問題。最低層：決策時(shí)的備選方案。中間層：考慮的因素、決策的準(zhǔn)則。對(duì)于相鄰的兩層，稱高層為目標(biāo)層，低層為因素層。旅游景點(diǎn)居住景色費(fèi)用飲食交通泰山杭州承德選購(gòu)冰箱品牌功能價(jià)格耗電海爾新飛容聲雪花例1.選購(gòu)冰箱例2.旅游景點(diǎn)科研課題貢獻(xiàn)可行性實(shí)用價(jià)值學(xué)術(shù)意義人才培養(yǎng)難度周期經(jīng)費(fèi)基礎(chǔ)

3、應(yīng)用教育例3.科研課題步驟二：通過相互比較，確定下一層各因素對(duì)上一層目標(biāo)的影響的權(quán)重，將定性的判斷定量化，即構(gòu)造因素判斷矩陣。步驟三：由矩陣的特征值確定判別的一致性；由相應(yīng)的特征向量表示各因素的影響權(quán)重，計(jì)算權(quán)向量。步驟四：通過綜合計(jì)算給出最底層（各方案）對(duì)最高層（總目標(biāo)）影響的權(quán)重，權(quán)重最大的方案即為實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的最由選擇。2.因素判斷矩陣比較n個(gè)因素y=(y1,y2,…,yn)對(duì)目標(biāo)z的影響.采用兩兩成對(duì)比較，用aij表示因素yi與因素yj對(duì)目標(biāo)z的影響程度之比。通常用數(shù)字1~9及其倒數(shù)作為程度

4、比較的標(biāo)度，即九級(jí)標(biāo)度法xi/xj相當(dāng)較重要重要很重要絕對(duì)重要aij135792,4,6,8居于上述兩個(gè)相鄰判斷之間。當(dāng)aij>1時(shí)，對(duì)目標(biāo)Z來(lái)說(shuō)xi比xj重要,其數(shù)值大小表示重要的程度。同時(shí)必有aji=1/aij￡1，對(duì)目標(biāo)Z來(lái)說(shuō)xj比xi不重要，其數(shù)值大小表示不重要的程度。稱矩陣A=（aij）為因素判斷矩陣。因?yàn)閍ij>0且aji=1/aij故稱A=(aij)為正互反矩陣。例.選擇旅游景點(diǎn)Z：目標(biāo)，選擇景點(diǎn)y：因素，決策準(zhǔn)則y1費(fèi)用，y2景色，y3居住，y4飲食，y5交通3.一致性與權(quán)向量如

5、果aijajk=aiki,j,k=1,2,…,n，則稱正互反矩陣A具有一致性.這表明對(duì)各個(gè)因素所作的兩兩比較是可傳遞的。一致性互正反矩陣A=(aij)具有性質(zhì):A的每一行(列)均為任意指定行(列)的正數(shù)倍數(shù),因此rank(A)=1.A有特征值l=n,其余特征值均為零.記A的對(duì)應(yīng)特征值l=n的特征向量為w=(w1w2,…,wn)則aij=wiwj-1如果在目標(biāo)z中n個(gè)因素y=(y1,y2,…,yn)所占比重分別為w=(w1w2,…,wn),則?iwi=1,且因素判斷矩陣為A=(wiwj-1)。因此

6、，稱一致性正互反矩陣A相應(yīng)于特征值n的歸一化特征向量為因素y=(y1,y2,…,yn)對(duì)目標(biāo)z的權(quán)向量4.一致性檢驗(yàn)與因素排序定理1:n階正互反矩陣A是一致性的當(dāng)且僅當(dāng)其最大特征值為n.定理2:正互反矩陣具有模最大的正實(shí)數(shù)特征值l1,其重?cái)?shù)為1,且相應(yīng)特征向量為正向量.為刻畫n階正互反矩陣A=(aij)與一致性接近的程度,定義一致性指標(biāo)(Consensusindex):CI=(l1-n)/(n-1)CI=0,A有完全的一致性。CI接近于0,A有滿意的一致性。Saaty又引入平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RT

7、n123456789RI000.580.901.121.241.321.411.45當(dāng)CR=CI/RI<0.1時(shí),認(rèn)為A有滿意的一致性。此時(shí)取A的相應(yīng)于l1的歸一化特征向量w=(w1w2,…,wn)為因素y=(y1,y2,…,yn)對(duì)目標(biāo)z的權(quán)向量。由w=(w2,…,wn)分量wi的大小可以對(duì)因素的重要性排序。例.選擇旅游景點(diǎn)：Z：目標(biāo)，選擇景點(diǎn)y：因素，決策準(zhǔn)則因素對(duì)目標(biāo)的判斷矩陣A,Matlab程序:[V，D]=eig(A)A有特征根l1=5.019w=(0.48,0.26,0.05,0.1

8、0,0.11)’CI=(l1-5)/(5-1)=0019/4=0.00475CR=0.00475/1.12=0.004246<0.1，A有滿意的一致性。y：因素，決策準(zhǔn)則y1費(fèi)用，y2景色，y3居住，y4飲食，y5交通x：對(duì)象，備選方案x1杭州，x2泰山，x3承德。備選對(duì)象對(duì)決策準(zhǔn)則yi的判別矩陣為Bi備選對(duì)象對(duì)決策準(zhǔn)則的判別矩陣都具有滿意的一致性5.一致性與總排序?qū)哟危簒TyTZy對(duì)目標(biāo)Z有判斷矩陣A，排序權(quán)重a=(a1,…,a5)Tx對(duì)準(zhǔn)則yj有判斷矩陣Bj，排序權(quán)重bj=(b1j,b2j,