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《導(dǎo)數(shù)在求值(極值、最值)中應(yīng)用》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。
1、學(xué)而思教育·學(xué)習(xí)改變命運(yùn)思考成就未來(lái)！高考網(wǎng)www.gaokao.com導(dǎo)數(shù)在求值(極值、最值)中的應(yīng)用 一、預(yù)備知識(shí) 1．若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間〔a，b〕上連續(xù)，根據(jù)閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)f(x)在閉區(qū)間〔a，b〕上必取到最大值與最小值．而最大點(diǎn)或最小點(diǎn)可能在區(qū)間端點(diǎn)a或b上；也可能取在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)部某點(diǎn)上，此時(shí)的最大點(diǎn)即為極大點(diǎn)；最小點(diǎn)即為極小點(diǎn)．因此，函數(shù)f(x)在閉區(qū)間〔a，b〕上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且x1，x2，…，xn是函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)的所有駐點(diǎn)(隱定點(diǎn))，
2、則函數(shù)值f(a)，f(x1)，f(x2)，…f(xn)，f(b) 中最小者就是函數(shù)f(x)的最小值；最大者就是函數(shù)f(x)的最大值． 2．若函數(shù)f(x)在有界開(kāi)區(qū)間(a，b)或無(wú)界開(kāi)區(qū)間(a，+∞)(或(－∞，b))上可導(dǎo)，且x1，x2，…，xn是函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)或(a，+∞)(或(－∞，b))的所有駐點(diǎn)(隱定點(diǎn))，設(shè)： 存在；f(xi)=max{f(x1)，f(x2)，…，f(xn)}，f(xj)=min{f(x1)，f(x2)，…，f(xn)}． 則f(xi)為最大值， 則f(
3、xj)為最小值． 二、應(yīng)用例題 學(xué)而思教育·學(xué)習(xí)改變命運(yùn)思考成就未來(lái)！高考網(wǎng)www.gaokao.com學(xué)而思教育·學(xué)習(xí)改變命運(yùn)思考成就未來(lái)！高考網(wǎng)www.gaokao.com f(x)=(x+b+c)3－(x+b－c)3－(b+c－x)3－(c+x－b)3． f′(x)=3〔(x+b+c)2－(x+b－c)2+(b+c－x)2－(c+x－b)2〕=24bc． 對(duì)上式求原函數(shù)，有 f(x)=∫24bcdx=24xbc+c1. 則c1=f(0)=(b+c)3－(b－c)3－(b+c)3+(b－c)3=
4、0， 從而f(x)=24xbc或f(a)=24abc． 為定值． 證明設(shè)M(x，y)是星形線上任一點(diǎn)，將星形線方程對(duì)x求導(dǎo)，得 過(guò)點(diǎn)M的切線l方程為 令Y=0，則得l在x軸上截距學(xué)而思教育·學(xué)習(xí)改變命運(yùn)思考成就未來(lái)！高考網(wǎng)www.gaokao.com學(xué)而思教育·學(xué)習(xí)改變命運(yùn)思考成就未來(lái)！高考網(wǎng)www.gaokao.com 令X=0，則得l在y軸上截距 于是，二坐標(biāo)軸所截線段長(zhǎng)為 例3已知p1，p2，…，pn∈N，a1，a2，…，an∈R+，且p1a1+p2a2+… 解不失一般性，令a
5、1=min{a1，a2，…，an}，an=max{a1，a2，…，an}，p=p1+p2+…+pn，則 將a2，a3，…，an看作常量，a1看作變量，設(shè)函數(shù)(將a1用x表示) 學(xué)而思教育·學(xué)習(xí)改變命運(yùn)思考成就未來(lái)！高考網(wǎng)www.gaokao.com學(xué)而思教育·學(xué)習(xí)改變命運(yùn)思考成就未來(lái)！高考網(wǎng)www.gaokao.com 則 為所求的最小值． 學(xué)而思教育·學(xué)習(xí)改變命運(yùn)思考成就未來(lái)！高考網(wǎng)www.gaokao.com學(xué)而思教育·學(xué)習(xí)改變命運(yùn)思考成就未來(lái)！高考網(wǎng)www.gaokao.com
6、 例6從半徑為R的圓形鐵片中剪去一個(gè)扇形(如圖)，將剩余部分圍成一個(gè)圓形漏斗，問(wèn)剪去的扇形的圓心角多大時(shí)，才能使圓錐形漏斗的容積最大？ 解設(shè)剪后剩余部分的圓心角是x(θ≤x≤2π)．圓錐形漏斗的斜高是R，圓學(xué)而思教育·學(xué)習(xí)改變命運(yùn)思考成就未來(lái)！高考網(wǎng)www.gaokao.com學(xué)而思教育·學(xué)習(xí)改變命運(yùn)思考成就未來(lái)！高考網(wǎng)www.gaokao.com 是 圓錐的底面積S是 于是，圓錐的體積是 下面求函數(shù)V(x)在〔0，2π〕上的最大值． 學(xué)而思教育·學(xué)習(xí)改變命運(yùn)思考成就未來(lái)！高
7、考網(wǎng)www.gaokao.com學(xué)而思教育·學(xué)習(xí)改變命運(yùn)思考成就未來(lái)！高考網(wǎng)www.gaokao.com 例7測(cè)量某個(gè)量A，由于儀器的精度和測(cè)量的技術(shù)等原因，對(duì)量A做了n次測(cè)量，測(cè)量的數(shù)值分別為a1，a2，…，an 取數(shù)x作為量A的近似值，問(wèn)x取何值才能使x與ai(i=1，2，…，n)之差的平方和為最?。俊 〗庥深}意，求函數(shù)f(x)=(x－a1)2+(x－a2)2+…+(x－an)2 的最小值．f′(x)=2(x－a1)+2(x－a2)+…+2(x－an)=2〔nx－(a1+a2+…+an)〕 f″(
8、x)=2n＞0， 值作為量A的近似值，才能使函數(shù)f(x)取最小值． 例8一個(gè)容器，下半部是圓柱，上半部是半球，且圓柱底面半徑和半球的半徑相等，設(shè)容器表面積為S，問(wèn)圓柱的高與底面半徑之比為何值時(shí)，容器的容積最大． 解設(shè)圓柱的高為h，底面半徑為r，則學(xué)而思教育·學(xué)習(xí)改變命運(yùn)思考成就未來(lái)！高考網(wǎng)www.gaokao.com學(xué)而思教育·學(xué)習(xí)改變命運(yùn)思考成就未來(lái)！高考網(wǎng)w
