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《測(cè)度之偉大--科學(xué)網(wǎng)曹廣?！酚蓵?huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學(xué)術(shù)論文-天天文庫。
1、測(cè)度之偉大⑴--如何由幾乎處處收斂做到一致收斂？本文所闡述的數(shù)學(xué)思想基本反映了實(shí)變函數(shù)的精髓，對(duì)于非數(shù)學(xué)專業(yè)人士而言，你如果讀懂了此文，可以不必洱去讀專門的書籍。你認(rèn)為有點(diǎn)夸張嗎？嘿嘿，真的一點(diǎn)不夸張。為了讀起來不那么費(fèi)勁，我盡量避免復(fù)雜的數(shù)學(xué)符號(hào)與推導(dǎo)。極限是微積分的靈魂，沒有極限也就沒有微積分。然而，微積分中與函數(shù)序列有關(guān)的很多問題的解決強(qiáng)烈依賴于收斂的方式，眾所周知，一個(gè)連續(xù)的函數(shù)序列可以處處收斂到一個(gè)Riemann不可積函數(shù)（你能構(gòu)造出這樣的例子嗎？），因此積分與極限的交換順序問題在微積分里是一個(gè)非常復(fù)雜的問題，很多時(shí)候需要經(jīng)過很繁復(fù)的推導(dǎo)來證明積
2、分與極限能否交換順序。函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性問題也是這樣。因此，在微積分中通常都是假定函數(shù)列或級(jí)數(shù)是一致收斂的，這樣所存的問題都變得簡單了。令人遺憾的是，上帝總是在故意刁難我們，大多數(shù)情況下，我們做不到一致收斂!在微積分中有兩種收斂概念：處處收斂與一致收斂，后者遠(yuǎn)強(qiáng)于前者。舉個(gè)簡單的例子：令fn(x)=xn,xe(O,l),f?(x)在(0，1)上顯然處處收斂到0，但不一致收斂到0。也許你會(huì)說，fn(x)的積分是收斂到0的，積分與極限可以交換順序啊，問題是這具有普遍性嗎？修改一下上面的例子：gn(x)=(n+l)xn,xe(0,l)，你再試試，gn(x)的積分
3、與極限能否交換順序？可是不難看出gn(x)依然是處處收斂到0的！上帝真殘酷，給我們出Y這么大個(gè)“難題”，別擔(dān)心，毛主席教導(dǎo)我們：“人定勝天”。只要我們敢想，就沒有克服不了的困難！盡管克服這個(gè)困難的人不是中國人，其至他可能不認(rèn)識(shí)毛主席。函數(shù)極限的真正意義在于用“好”的或“簡單”的函數(shù)去逼近“壞”的或“復(fù)雜”的函數(shù)。積分與極限交換順序問題的本質(zhì)也是如此，通過容易計(jì)算的函數(shù)積分去逼近一般函數(shù)的積分。多項(xiàng)式逼近連續(xù)函數(shù)的Weirstrass定理以及三角級(jí)數(shù)逼近可測(cè)函數(shù)的Fourier分析都可婦類為逼近問題。巾于收斂概念有多種，所以函數(shù)逼近相應(yīng)的也有多種含義；即“一
4、致逼近”、“逐點(diǎn)(處處)逼近”、“幾乎處處逼近”、“依測(cè)度逼近”，前兩種逼近出現(xiàn)在微積分中，后兩種逼近出現(xiàn)在“實(shí)變函數(shù)“中，什么叫“兒乎處處逼近(收斂)”？即去掉一個(gè)零測(cè)度集后處處收斂。“依測(cè)度收斂”又稱為“概收斂”，概率論中常使用這個(gè)概念，簡單地說就是對(duì)任意正數(shù)e,滿足
5、fn(X)-f(X)
6、〉e的點(diǎn)集的測(cè)度隨著n越來越大而越來越小。這幾種收斂概念依次由強(qiáng)到弱。既然一致收斂在很多問題中起到了決定性作用，我們能不能在犧牲掉另外一些東西后保證一個(gè)處處收斂甚至幾乎處處收斂的函數(shù)序列一致收斂呢？能從這個(gè)角度想問題本身就很了不起！我們先來看看上面的例子，fnOQ為
7、什么不能一致收斂到0?原因在于當(dāng)x充分接近1時(shí)，*°也接近到1(不管n有多大，只要它固定)。因此，如果x隨著n變，的極限有可能不等于零，事實(shí)上，如果令xn=l-l/n，則fn(xn)=(l-1/n)"的極限為1/e。既然問題的關(guān)鍵就出在x不能離1“太近”，我們給x圈定個(gè)范圍如何？這個(gè)范圍與原來的區(qū)間(0,1)不能相差太大，否則可能對(duì)所要解決的問題毫無幫助。實(shí)際上，只要x小于任何給定的小于1的正數(shù)就可以，即對(duì)任意正數(shù)S〈l，fn(x)與gn(x)在(0，S)上一定是一致收斂到0的。這是偶然的還是必然的？換句話說，任何一個(gè)處處收斂(幾乎處處收斂)的函數(shù)列是不是
8、都可以在挖掉一個(gè)“長度”充分小的集合后是一致收斂的？Egoreff(葉果洛夫)很了不起，他給出了這個(gè)問題的肯定回答，這就是著名的Egoroff定理。定理(葉果洛夫(Egoroff))設(shè)E是Rn中的可測(cè)集，且mE<+{fn0<)}是上兒乎處處存限的可測(cè)函數(shù)序列，f(x)是上兒乎處處有限的可測(cè)函數(shù)，則下列各命題等價(jià)。(i)fn(x)幾乎處處收斂到f(x);(ii)對(duì)任意正數(shù)(5,存在E的可測(cè)子集E6,使得m(E-Es)〈S，而在Es上，fn(x)—致收斂到f(x)。瞧，我們果真做到了一致收斂！問題到此就算解決了嗎？在E。上巾于函數(shù)列是一致收斂的，所以很多問題很
9、容易得到解決，然而在E-E5上怎么辦呢？例如，在(0,S)上，前面提到的兩個(gè)函數(shù)列fn(x)與8上)的積分肯定都收斂到零，也就是說，在(0，5)上積分與極限可以交換順序，可為什么在(0,1)上結(jié)論就不對(duì)呢？顯然，問題出在剩不的區(qū)間(S，1)上。因此僅僅有Egoroff定理是不夠的，欲知詳情如何，且看下回分解。測(cè)度之偉大(II)--積分與極限何時(shí)能交換順序？我在前一篇博文《測(cè)度之偉大⑴--如何由兒乎處處收斂做到一致收斂？》中談到了如何由兒乎處處收斂(或者處處收斂)得到一致收斂，收斂的方式?jīng)Q定了極限函數(shù)的性質(zhì)，葉果洛夫(Egoroff)定理的偉大之處在于通過它
10、可以將一個(gè)兒乎處處收斂函數(shù)序列的定義域做適當(dāng)修改從而使得該序列一致
