單自由度系統(tǒng)霧阻尼受迫振動(dòng)

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1、單自由度系統(tǒng)的霧阻尼受迫振動(dòng)工程中的自由振動(dòng)，都會(huì)由于阻尼的存在而逐漸衰減，最后完全停止。但實(shí)際上又存在有大量的持續(xù)振動(dòng)，這是由于外界有能量輸入以補(bǔ)充阻尼的消耗，一般都承受外加的激振力。在外加激振力作用下的振動(dòng)稱為受迫振動(dòng)。例如，交流電通過(guò)電磁鐵產(chǎn)生交變的電磁力引起振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)，如圖4-16所示；彈性梁上的電動(dòng)機(jī)由于轉(zhuǎn)子偏心，在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)引起的振動(dòng)，如圖4-17所示，等等。工程中常見的激振力多是周期變化的。一般回轉(zhuǎn)機(jī)械，往復(fù)式機(jī)械，交流電磁鐵等多會(huì)引起周期激振力。簡(jiǎn)諧激振力是一種典型的周期變化的激振力，簡(jiǎn)諧力F隨時(shí)間變化的關(guān)系可以寫成

2、其中H稱為激振力的力幅，即激振力的最大值；w是激振力的角頻率；W是激振力的初相角，它們都是定值。1.振動(dòng)微分方程圖4-16所示的振動(dòng)系統(tǒng)，其中物塊的質(zhì)量為m。物塊所受到的力有恢復(fù)力Fe和激振力F，如圖4-18所示。取物塊的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，坐標(biāo)軸鉛直向下，則恢復(fù)力Fe在坐標(biāo)軸上的投影為其中k為彈簧剛度系數(shù)。設(shè)F為簡(jiǎn)諧激振力，F(xiàn)在坐標(biāo)軸上的投影可以寫成式（4-33）的形式。指點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程為將上式兩端除以m，并設(shè)則得該式為無(wú)阻尼受迫振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，它的解由兩部分組成，即其中x1對(duì)應(yīng)于方程（4

3、-35）的齊次通解，x2為其特解。由￥4-1知，齊次方程的通解為設(shè)方程（4-35）的特解有如下形式：其中b為待定常數(shù)，將x2代入方程（4-35），得解得于是得方程（4-35）的全解為1.受迫振動(dòng)的振幅由式（4-36）和（4-37）知，在簡(jiǎn)諧激振的條件下，系統(tǒng)的受迫振動(dòng)為諧振動(dòng)，其振動(dòng)頻率等于激振力頻率，振幅的大小與運(yùn)動(dòng)出示條件無(wú)關(guān)，而與振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率w0，激振力的力幅H，激振力的頻率w有關(guān)。下面桃林受迫振動(dòng)的振幅與激振力頻率之間的關(guān)系。（1）若w——0，此種激振力的周期趨近于無(wú)窮大，即激振力為一恒力，此時(shí)并不振動(dòng)，所謂的振幅b0

4、實(shí)為靜力H作用下的靜變形。由式（4-37）得（2）若0《w《w0，則由式（4-37）知，w值越大，振幅b越大，即b隨著頻率w單調(diào)上升，當(dāng)w接近w0時(shí)，振幅b將趨近于無(wú)窮大。（3）若w》w0，按式（4-37），b為負(fù)值。但習(xí)慣上把振幅都取為正值，因而此時(shí)b取其絕對(duì)值，而視受迫振動(dòng)x2與激振力反向，即式（4-36）的相位角應(yīng)加（或減）180。這時(shí)，隨著激振力頻率w增大，振幅b減小。當(dāng)w趨于無(wú)窮大時(shí)，振幅b趨于零。上述振幅b與激振力頻率w之間的關(guān)系可用圖4-19a中的曲線表示。該曲線稱為振幅頻率曲線，又稱為共振曲線。為了使曲線具有更普遍的

5、意義，我們將縱軸取為b=bb，橫軸取為r=ww，b和r都是量綱一的量，振動(dòng)頻率曲線如圖4-19b所示。2.共振現(xiàn)象在上述分析中，當(dāng)w=w0時(shí)，即激振力頻率等于系統(tǒng)的固有頻率時(shí)，振幅b在理論上應(yīng)趨向無(wú)窮大，這種現(xiàn)象稱為共振。事實(shí)上，當(dāng)w=w0時(shí)，式（4-37）沒(méi)有意義，微分方程式（4-35）的特解應(yīng)具有下面的形式：將此式代入式（4-35）中，得故共振時(shí)受迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為它的幅值為由此可見，當(dāng)w=w0時(shí)，系統(tǒng)共振，受迫振動(dòng)的振幅隨時(shí)間無(wú)限地增大，其運(yùn)動(dòng)圖線如圖4-20所示。實(shí)際上，由于系統(tǒng)存在有阻尼，共振時(shí)振幅不可能達(dá)到無(wú)限大。但一般

6、來(lái)說(shuō)，共振時(shí)的振幅都是相當(dāng)大的，往往使機(jī)器產(chǎn)生過(guò)大的變形，甚至造成破壞。因此如何避免發(fā)生共振室工程中一個(gè)非常重要的課題。