資源描述：
《解數(shù)學(xué)競(jìng)賽題若干思想方法》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。
1、解數(shù)學(xué)競(jìng)賽題的若干思想方法元濟(jì)高級(jí)中學(xué)張金良求解高水平的數(shù)學(xué)競(jìng)賽題通常不能直接套用現(xiàn)成的公式，需在一般思維規(guī)律的指導(dǎo)下，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行探索與嘗試，選擇與組合，這當(dāng)種包括我們經(jīng)常使用的待定系數(shù)法、換元法、配方法、數(shù)學(xué)歸納法等等，然而在解決某些數(shù)學(xué)競(jìng)賽題時(shí)高層次的解題技巧，本文試圖介紹一些已有的數(shù)學(xué)競(jìng)賽解題思想與技巧。一、構(gòu)造法例1．已知f（x）=x2+ax+b，-1≤x≤1，若
2、f（x）
3、的最大值是M．證明：M≥．分析：構(gòu)造等式例2．設(shè)x、y、z,a、b、c是正實(shí)數(shù)，且滿足x+a=1,y+b=1,z+c=1，求證：xc+ya+zc<1
4、分析：構(gòu)造幾何模型例3．設(shè)x,y,z,證明x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.分析：構(gòu)造函數(shù)例4．.一無(wú)窮等差數(shù)列的各項(xiàng)都是正整數(shù)，已知其中的第一項(xiàng)是完全平方數(shù)，求證這個(gè)數(shù)列有無(wú)限多項(xiàng)是完全平方數(shù)。二、遞推法例5．用五種不同的顏色的去染五棱錐的六個(gè)頂點(diǎn)，若任何兩個(gè)頂點(diǎn)的顏色不同，則有幾種不同的染法？例6．已知，求三、特殊化例7．△ABC三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C與平面α的距離分別為a,b,c，那么其重心到平面α的距離為（??）（A）????（B）??（C）??（D）例8．將邊長(zhǎng)為正整數(shù)m,n的矩形劃分成若干邊長(zhǎng)均為正整數(shù)的正方形，每個(gè)正方形
5、的邊均平行于矩形的相應(yīng)邊，試求這些正方形邊長(zhǎng)之和的最小值。四、一般化例9．這是一個(gè)計(jì)算機(jī)程序的操作說(shuō)明：①①初始值x=1,y=1,z=0,n=0;②②n=n+1(將當(dāng)前n+1的值賦予新的n)③③x=x+2(將當(dāng)前x+2的值賦予新的x)④④y=2y(將當(dāng)前2y的值賦予新的y)⑤⑤z=z+xy(將當(dāng)前z+xy的值賦予新的z)⑥⑥如果z>7000，則執(zhí)行語(yǔ)句⑦，否則回語(yǔ)句②繼續(xù)進(jìn)行⑦⑦打?、啖喑绦蚪K止⑨由語(yǔ)句⑦打印的數(shù)值是什么？例10.在很大的湖岸邊（可視湖岸為直線）停放著一只小船，由于纜繩突然斷開(kāi)，小船被風(fēng)刮跑，其方向與湖岸成角，速度為2.5km
6、/h,同時(shí)岸上有一人，從同一地點(diǎn)開(kāi)始追趕趕小船，已知他在岸上跑的速度為4km/h,在水中游的速度為2km/h，問(wèn)此人能否追上小船；若小船速度改變，則小船能被人追上的最大速度是多少？五、配對(duì)例10．設(shè)計(jì)算。例11．設(shè)正整數(shù)的不同正同數(shù)的個(gè)數(shù)為，試確定和是奇數(shù)還是偶數(shù)例12．計(jì)算和式六、賦值例13．在區(qū)間內(nèi)任意插入n個(gè)分點(diǎn)，形成n+1個(gè)子區(qū)間，子區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)分別是有理點(diǎn)、無(wú)理點(diǎn)稱(chēng)為好區(qū)間。證明存在好區(qū)間且好區(qū)間的個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)。例14．n盒火柴擺成一圈，作如下調(diào)整：若連續(xù)相鄰的4盒火柴根數(shù)之和為奇數(shù)，則從每盒中取出一根；否則每盒火柴加進(jìn)一根火柴，
7、如果每連續(xù)相鄰4盒火柴均恰好作一次這樣的調(diào)整后，n盒火柴總根數(shù)不變，求證：n是4的倍數(shù)。七、極端例15．中國(guó)足球甲A聯(lián)賽共有12個(gè)足球俱樂(lè)部參加，實(shí)行主客場(chǎng)雙循環(huán)賽制，即任可兩個(gè)球隊(duì)分別在主場(chǎng)和客場(chǎng)各比一場(chǎng)，勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)各得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分，在聯(lián)賽結(jié)束后按積分高低排出名次。求在積分榜上位次相鄰的兩支球隊(duì)積分差距最多可達(dá)多少分。八、染色??例16．???對(duì)平面上一個(gè)點(diǎn)，任意染上紅、藍(lán)、黑三種顏色中的一種.證明:平面內(nèi)存在端點(diǎn)同色的單位線段.分析：作出一個(gè)如圖29-7的幾何圖形是可能的,其中△ABD、△CBD、△AEF、△GEF都是邊長(zhǎng)
8、為1的等邊三角形，CG=1.不妨設(shè)A點(diǎn)是紅色，如果B、E、D、F中有紅色，問(wèn)題顯然得證.當(dāng)B、E、D、F都為藍(lán)點(diǎn)或黃點(diǎn)時(shí)，又如果B和D或E和F同色，問(wèn)題也得證.現(xiàn)設(shè)B和D異色E和F異色,在這種情況下,如果C或G為黃色或藍(lán)點(diǎn),則CB、CD、GE、GF中有兩條是端點(diǎn)同色的單位線段，問(wèn)題也得證.不然的話,C、G均為紅點(diǎn)，這時(shí)CG是端點(diǎn)同色的單位線段.證畢.（例17．（首屆全國(guó)數(shù)學(xué)冬令營(yíng)試題）用任意方式給平面上的每一個(gè)點(diǎn)染上黑色或白色.求證：一定存在一個(gè)邊長(zhǎng)為1或的正三角形，它三個(gè)頂點(diǎn)是同色的.分析：先利用右圖證明＂若平面上有兩個(gè)異色的點(diǎn)距離為２，地
9、么必定可以找到符合題意的三角形＂．再找長(zhǎng)為２端點(diǎn)異色的線段．以Ｏ（白色）為圓心，４為半徑作圓．如圓內(nèi)皆白點(diǎn)，問(wèn)題已證．否則圓內(nèi)有一黑點(diǎn)Ｐ，以ＯＰ為底作腰長(zhǎng)為２的三角形ＯＰＲ，則Ｒ至少與Ｏ、Ｐ中一點(diǎn)異色，這樣的線段找到．九、奇偶分析例18．設(shè)，且G具有下列兩條性質(zhì)⑴對(duì)任何⑵試證明G中的奇數(shù)的個(gè)數(shù)是4的倍數(shù)，且G中所有數(shù)字的平方和為一定值。例19．．設(shè)，都是正整數(shù)，且，試證明當(dāng)且僅當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，可以適當(dāng)選取“+”號(hào)和“一”號(hào)使得十、整體處理例20．一張正方形的紙被一條直線分成兩部分，其中一部分再被一條直線分成兩部分，再把三塊之一被一條直線分成兩部分
10、，如此下去，最后得了19個(gè)96邊形和其他一些多邊形，則最少要切割多少次。十一、計(jì)算兩次例21．設(shè)正整數(shù)n,m,n>m.證明例22．試證明每一個(gè)冊(cè)n邊形中，總有一條對(duì)
