第三章函數(shù)應(yīng)用

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1、第三章函數(shù)的應(yīng)用函數(shù)的應(yīng)用函數(shù)與方程函數(shù)模型及其應(yīng)用方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系用二分法求方程的近似解幾種不同增長的函數(shù)模型用已知函數(shù)模型解決問題建立實(shí)際問題的函數(shù)模型函數(shù)零點(diǎn)的存在性一次函數(shù)、二次函數(shù)指數(shù)、對數(shù)函數(shù)冪函數(shù)、分段函數(shù)對數(shù)增長指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)增長速度的比較。3.1函數(shù)與方程3.1.1方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)一、函數(shù)零點(diǎn)的概念1.函數(shù)零點(diǎn)的定義對于函數(shù)，把使成立的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)。2．函數(shù)零點(diǎn)的意義函數(shù)的零點(diǎn)就是方程實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。即：方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)。二．二次

2、函數(shù)的零點(diǎn)問題1.二次函數(shù)的零點(diǎn)二次函數(shù)的零點(diǎn)：1）△＞０，方程有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個零點(diǎn)；2）△＝０，方程有兩相等實(shí)根（二重根），二次函數(shù)的圖象與軸有一個交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn)；3）△＜０，方程無實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸無交點(diǎn)，二次函數(shù)無零點(diǎn)。2.二次函數(shù)零點(diǎn)的分布問題二次函數(shù)零點(diǎn)的分布即一元二次方程根的分布，一般為下面兩個方面的問題：（1）一個區(qū)間內(nèi)只有一個根；（2）一個區(qū)間內(nèi)有兩個根.設(shè)方程的不等兩根為且，相應(yīng)的二次函數(shù)為，方程的根即為二次函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)，它們的分布

3、情況見下面表分布情況兩根都在內(nèi)兩根有且僅有一根在內(nèi)一根在內(nèi)，另一根在內(nèi)，大致圖象（）得出的結(jié)論或大致圖象（）得出的結(jié)論或綜合結(jié)論（不討論）——————三．零點(diǎn)存在性性判定定理：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)。既存在，使得，這個也就是方程的根。四、典型例題講解題型1：方程的根與函數(shù)零點(diǎn)例1．（1）方程lgx+x=3的解所在區(qū)間為（）A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，+∞)解析：（1）在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=lgx與y=-x+3的圖象(如圖)。它們的交點(diǎn)橫坐

4、標(biāo)，顯然在區(qū)間(1，3)內(nèi)，由此可排除A，D至于選B還是選C，由于畫圖精確性的限制，單憑直觀就比較困難了。實(shí)際上這是要比較與2的大小。當(dāng)x=2時，lgx=lg2，3-x=1。由于lg2＜1，因此＞2，從而判定∈(2，3)，故本題應(yīng)選C。（2）設(shè)a為常數(shù)，試討論方程的實(shí)根的個數(shù)。解析：原方程等價于即構(gòu)造函數(shù)和，作出它們的圖像，易知平行于x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)情況可得：①當(dāng)或時，原方程有一解；②當(dāng)時，原方程有兩解；③當(dāng)或時，原方程無解點(diǎn)評：圖象法求函數(shù)零點(diǎn)，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想。本題是通過構(gòu)造函數(shù)用數(shù)形結(jié)合法求方程lgx+x=

5、3解所在的區(qū)間。數(shù)形結(jié)合，要在結(jié)合方面下功夫。不僅要通過圖象直觀估計，而且還要計算的鄰近兩個函數(shù)值，通過比較其大小進(jìn)行判斷。題型2：二次函數(shù)根的分布例1、已知方程有兩個不等正實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：由或即為所求的范圍。例2、已知二次函數(shù)與軸有兩個交點(diǎn)，一個大于1，一個小于1，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：由即即為所求的范圍。題型3：零點(diǎn)存在性定理例1．若函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的圖象為連續(xù)不斷的一條曲線，則下列說法正確的是（）A．若，不存在實(shí)數(shù)使得；B．若，存在且只存在一個實(shí)數(shù)使得；C．若，有可能存在實(shí)數(shù)使得；D．若，有可能不存在實(shí)

6、數(shù)使得；解析：由零點(diǎn)存在性定理可知選項(xiàng)D不正確；對于選項(xiàng)B，可通過反例“在區(qū)間上滿足，但其存在三個解”推翻；同時選項(xiàng)A可通過反例“在區(qū)間上滿足，但其存在兩個解”；選項(xiàng)D正確，見實(shí)例“在區(qū)間上滿足，但其不存在實(shí)數(shù)解”例2.（2011年全國新課標(biāo)文數(shù)）(10)．在下列區(qū)間中，函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）A．B．C．D．解析：本題考查零點(diǎn)存在定理，只需驗(yàn)證端點(diǎn)值，凡端點(diǎn)值異號就是答案。故選C。本節(jié)提升訓(xùn)練一、基礎(chǔ)練習(xí)1、函數(shù)f(x)=2x+7的零點(diǎn)為（）A、7B、C、D、-72、方程的一個實(shí)數(shù)解的存在區(qū)間為（）A、（0，1）B、（0，

7、2）C、（1，2）D、（-1，1）3、函數(shù)在區(qū)間（1，2）內(nèi)的函數(shù)值為（）A、大于等于0B、小于等于0C、大于0D、小于0二、鞏固練習(xí)1、若函數(shù)唯一的零點(diǎn)在區(qū)間（1，3）、（1，4）、（1，5）內(nèi)，那么下列命題中錯誤的是（　?。〢、函數(shù)在（1，2）或內(nèi)有零點(diǎn)B、函數(shù)在（3，5）內(nèi)無零點(diǎn)C、函數(shù)在（2，5）內(nèi)有零點(diǎn)D、函數(shù)在（2，4）內(nèi)不一定有零點(diǎn)2、設(shè)函數(shù)在區(qū)間[]上連續(xù)，若滿足______________，若方程在區(qū)間[]上一定有實(shí)根。3、方程的實(shí)數(shù)解的個數(shù)為________________。4、方程有兩個實(shí)根且在區(qū)間（0，

8、1）上有且只有一個實(shí)根所要滿足的條件是_______________。三、提高訓(xùn)練1、函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)至少有一個在原點(diǎn)右側(cè)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_______________。2、函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為_______________3、函數(shù)的一個零點(diǎn)在原點(diǎn)，則m的值為_