巧解排列組合的21種模型

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1、巧解排列組合的21種模型排列組合問題是高考的必考題，它聯(lián)系實(shí)際生動有趣，但題型多樣，思路靈活，不易掌握.實(shí)踐證明，掌握題型和識別模式，并熟練運(yùn)用，是解決排列組合的有效途徑.下面就系統(tǒng)地介紹巧解排列組合的21種模型.1.相鄰問題捆綁法:題目中規(guī)定相鄰的幾個元素捆綁成一個組，當(dāng)作一個大元素參與排列.例1.五人并排站成一排，如果必須相鄰且在的右邊，那么不同的排法種數(shù)有A、60種B、48種C、36種D、24種解析：把視為一人，且固定在的右邊，則本題相當(dāng)于4人的全排列，種，答案：.2.相離問題插空排:元素相離（即不相鄰）問題，可先把無位置要求的幾個元素全排列，再把規(guī)定的相離的幾個元素插入上述幾個元素

2、的空位和兩端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙兩個必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是A、1440種B、3600種C、4820種D、4800種解析：除甲乙外，其余5個排列數(shù)為種，再用甲乙去插6個空位有種，不同的排法種數(shù)是種，選.3.定序問題縮倍法:在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定的順序，可用縮小倍數(shù)的方法.例3.五人并排站成一排，如果必須站在的右邊（可以不相鄰）那么不同的排法種數(shù)是A、24種B、60種C、90種D、120種解析：在的右邊與在的左邊排法數(shù)相同，所以題設(shè)的排法只是5個元素全排列數(shù)的一半，即種，選.4.標(biāo)號排位問題分步法:把元素排到指定位置上，可先把某個元素按規(guī)定排入，第二步再

3、排另一個元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成.例4.將數(shù)字1，2，3，4填入標(biāo)號為1，2，3，4的四個方格里，每格填一個數(shù)，則每個方格的標(biāo)號與所填數(shù)字均不相同的填法有A、6種B、9種C、11種D、23種解析：先把1填入方格中，符合條件的有3種方法，第二步把被填入方格的對應(yīng)數(shù)字填入其它三個方格，又有三種方法；第三步填余下的兩個數(shù)字，只有一種填法，共有3×3×1=9種填法，選.5.有序分配問題逐分法:有序分配問題指把元素分成若干組，可用逐步下量分組法.例5.（1）有甲乙丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙丙各需一人承擔(dān)，從10人中選出4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法種數(shù)是A、1260種B、2025種C、25

4、20種D、5040種解析：先從10人中選出2人承擔(dān)甲項(xiàng)任務(wù)，再從剩下的8人中選1人承擔(dān)乙項(xiàng)任務(wù)，第三步從另外的7人中選1人承擔(dān)丙項(xiàng)任務(wù)，不同的選法共有種，選.（2）12名同學(xué)分別到三個不同的路口進(jìn)行流量的調(diào)查，若每個路口4人，則不同的分配方案有A、種B、種C、種D、種答案：.6.全員分配問題分組法:例6.（1）4名優(yōu)秀學(xué)生全部保送到3所學(xué)校去，每所學(xué)校至少去一名，則不同的保送方案有多少種？解析：把四名學(xué)生分成3組有種方法，再把三組學(xué)生分配到三所學(xué)校有種，故共有種方法.說明：分配的元素多于對象且每一對象都有元素分配時(shí)常用先分組再分配.（2）5本不同的書，全部分給4個學(xué)生，每個學(xué)生至少一本，不

5、同的分法種數(shù)為A、480種B、240種C、120種D、96種答案：.7.名額分配問題隔板法:例7.10個三好學(xué)生名額分到7個班級，每個班級至少一個名額，有多少種不同分配方案？解析：10個名額分到7個班級，就是把10個名額看成10個相同的小球分成7堆，每堆至少一個，可以在10個小球的9個空位中插入6塊木板，每一種插法對應(yīng)著一種分配方案，故共有不同的分配方案為種.8.限制條件的分配問題分類法:例8.某高校從某系的10名優(yōu)秀畢業(yè)生中選4人分別到西部四城市參加中國西部經(jīng)濟(jì)開發(fā)建設(shè)，其中甲同學(xué)不到銀川，乙不到西寧，共有多少種不同派遣方案？解析：因?yàn)榧滓矣邢拗茥l件，所以按照是否含有甲乙來分類，有以下四

6、種情況：①若甲乙都不參加，則有派遣方案種；②若甲參加而乙不參加，先安排甲有3種方法，然后安排其余學(xué)生有方法，所以共有；③若乙參加而甲不參加同理也有種；④若甲乙都參加，則先安排甲乙，有7種方法，然后再安排其余8人到另外兩個城市有種，共有方法.所以共有不同的派遣方法總數(shù)為種.9.多元問題分類法：元素多，取出的情況也多種，可按結(jié)果要求分成不相容的幾類情況分別計(jì)數(shù)，最后總計(jì).例9.（1）由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有A、210種B、300種C、464種D、600種解析：按題意，個位數(shù)字只可能是0、1、2、3和4共5種情況，分別有、、、和個，合并

7、總計(jì)300個,選.（2）從1，2，3…，100這100個數(shù)中，任取兩個數(shù)，使它們的乘積能被7整除，這兩個數(shù)的取法（不計(jì)順序）共有多少種？解析：被取的兩個數(shù)中至少有一個能被7整除時(shí)，他們的乘積就能被7整除，將這100個數(shù)組成的集合視為全集I,能被7整除的數(shù)的集合記做共有14個元素,不能被7整除的數(shù)組成的集合記做共有86個元素；由此可知，從中任取2個元素的取法有，從中任取一個，又從中任取一個共有，兩種情形共符合要求的取法有種