欺騙眼睛的幾何問題

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1、欺騙眼睛的幾何問題　　生活中我們常常相信親眼所見，但又常常為自己的眼睛所騙，魔術就是一個很好的例子。數學中也有這種欺騙我們眼睛的奇妙的數學魔術，請看下面問題1這兩個圖形，如果將圖1中的四塊幾何圖形裁剪開來重新拼接成圖2，我們將會發(fā)現(xiàn)，與圖1相比，圖2多出了一個洞！這怎么可能呢？理性會提出這樣的疑問。奧妙何在我們姑且按下不表，讓喜歡思考的同學先動動腦子。　　我們還是來看一個更簡單的問題2吧，將圖3中面積為13×13=169的正方形裁剪成圖中標出的四塊幾何圖形，然后重新拼接成圖4，計算可知長方形的面積為8×21＝168，比正方形少了一個單

2、位的面積，真不可思議！　　這兩個問題是這樣的令人驚奇和難以理解，值得我們花費一些時間動手按照所說的剪裁方法做一做。以問題2為例，我們在白紙上將正方形量好畫出，剪成四塊，重新安排后拼成長方形，除非圖形做得很大并且作圖和剪裁都十分精確，我們一般是不會發(fā)現(xiàn)拼接成的長方形在對角線附近發(fā)生了微小的重疊，正是沿對角線的微小重疊導致了一個單位面積的丟失。要證實這一點我們只要計算一下長方形對角線的斜率和正方形拼接各片相應邊的斜率，比較一下就會清楚了?！　栴}2中涉及到四個數據5、8、13和21，有一定數學基礎的同學會認出這是著名的斐波那契數列中的四項

3、，斐波那契數列的特征是它的每一項都是前兩項之和：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……。我們還可以使用這個數列中的其他相鄰四項來試驗這個過程，無論選取哪四項，都可以發(fā)現(xiàn)正方形和長方形的面積是不會相等的，有時正方形的面積比長方形多一個單位面積，有時則正好相反。多做幾次上述實驗，我們就會得出斐波那契數列的一個重要性質：這個數列任意一項的平方等于它前后相鄰兩項之積加1或減1.用公式表示就是：。其中表示正方形的面積，表示長方形的面積。知道了這個事實，我們就可以自己構造類似于問題2的幾何趣題。　　上面的這個斐波那契數列是以1，1兩數開始

4、的，廣義的斐波那契數列可以從任意兩數開始。比如說，用廣義斐波那契數列2，2，4，6，10，16，……做上述試驗，就會多得或丟失四個單位的面積。如果用a、b、c表示廣義斐波那契數列的相鄰三項，以x表示“得”或“失”的數字，則下列兩式成立：，我們還可以來研究這樣一個有趣的問題：把正方形按上述方法剪成四塊，是否會拼接成一個與它面積相等的長方形？要回答這個問題，可以令方程組中的x等于零，再解之得唯一正解是：。其中恰是著名的黃金分割比，通常用Φ來表示，它是一個無理數，等于……。這就是說，唯一的每項平方等于前后相鄰兩項之積的斐波那契數列是：1，Φ

5、，Φ2，Φ3，Φ4，……。要證明它的確是斐波那契數列，只要證明它等價于數列1，Φ，Φ+1，2+1，3+2，……就可以了。只有用這個數列相鄰項數表示的長度來分割正方形，才可以拼出面積不變的長方形?！　∥覀冊倩氐絾栴}1，題中涉及到的數據1，1，2，3，5，8，13恰是斐波那契數列的前七項，因此問題1實際上是問題2的一個復雜化版本，計算一下圖中兩個大小三角形斜邊的斜率，那么一開始的疑問已不講自明?！　∽詈笤俳o喜歡思考的同學提出一個與前兩個問題略有不同的問題3，圖5這個正方形按圖中標出的數據分割成了五塊幾何圖形，剪開后重新拼接成圖6，奇怪，又

6、多出了一個洞！這次斜線處并無疊合，少掉的一個單位面積哪里去了呢？這個問題最初是由美國魔術師保羅？卡瑞提出的，雖然它曾經難倒了許多美國人，但相信它難不倒聰明的中國學生。為幫助大家思考，提示一下：不要忘了計算！最后送給大家一句華羅庚教授的話作為本文的結束，“數缺形時少直觀，形少數時難入微”。