變上限定積分函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 教案

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1、高等數(shù)學(xué)教案變上限定積分函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)教學(xué)內(nèi)容：變上限定積分函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)。知識目標：使學(xué)生掌握變上限定積分函數(shù)的定義；使學(xué)生了解原函數(shù)存在定理的證明；使學(xué)生會熟練運用原函數(shù)存在定理求導(dǎo)數(shù)。情感目標：通過原函數(shù)存在定理體會積分和微分之間的聯(lián)系。教學(xué)重點：通過對變上限定積分的掌握和原函數(shù)存在定理的結(jié)論會求變上限定積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。教學(xué)難點：原函數(shù)存在定理的證明。教學(xué)設(shè)計：對高職生來說，原函數(shù)存在定理的證明過程是本節(jié)課的難點，所以采用提前給出儲備知識減弱學(xué)生負擔，同時又輔以數(shù)形結(jié)合來形象展示。對變上限積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)采用講練結(jié)合來強化重點。教學(xué)方法：講練

2、結(jié)合+任務(wù)驅(qū)動教學(xué)過程：一課程導(dǎo)入在前面我們通過兩個實例曲邊梯形的面積和變速直線運動的路程引入了定積分的概念。求定積分的過程實際上是求和式的極限一般來說，根據(jù)定義求定積分計算是很復(fù)雜的，所以，必須尋求一種簡單而有效的方法。牛頓-萊布尼茲在創(chuàng)建微積分時，就發(fā)現(xiàn)定積分和不定積分有密切的聯(lián)系。我們第二講要講的牛頓-萊布尼茲公式，從而把求定積分的問題轉(zhuǎn)化為求不定積分（既原函數(shù)）的問題，為人們計算定積分提供了簡便的方法。本節(jié)課所要講的原函數(shù)存在定理，在微分和積分之間建立了關(guān)系，牛頓和萊布尼茲利用這種關(guān)系用來計算計算定積分，得出了著名的牛頓-萊布尼茲公式

3、。二儲備知識引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)下面一些知識點，為后面的知識做準備。1原函數(shù)：若，則是的一個原函數(shù)。2可導(dǎo)的概念：若存在，則可導(dǎo)。3復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：4定積分的積分區(qū)間可加性：。5定積分積分中值定理：。三給出課堂任務(wù)目標給出本節(jié)課的任務(wù)目標，以便讓學(xué)生明白本節(jié)課的主要任務(wù)。本堂課主要有三個任務(wù)目標：1掌握變上限積分函數(shù)的概念；2了解原函數(shù)存在定理的證明；3會熟練運用原函數(shù)存在定理求導(dǎo)數(shù)。四課程內(nèi)容1變上限定積分函數(shù)的概念設(shè)在上連續(xù)，，則在，即定積分存在，這樣很容易混淆，又定積分的值與積分變量無關(guān)，我們把積分變量換成t,即得。若固定積分下限，則對任意一個，

4、定積分都有唯一的值與對應(yīng)，所以是上限變量的函數(shù)，稱它為變上限定積分函數(shù)，記作。從定積分的幾何意義來解釋變上限積分是的函數(shù)。對于變上限積分函數(shù)在給定的情況下可以求其導(dǎo)數(shù)。2定理(原函數(shù)存在定理）定理1如果函數(shù)在上連續(xù)，則變上限積分()在內(nèi)可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為。即是被積函數(shù)的一個原函數(shù)。證明：根據(jù)定積分的中值定理：存在使（如圖）。，。這個定理肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的，通常稱為原函數(shù)存在定理；同時，該定理也初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系，在微分和積分之間建立了關(guān)系，我們又把它稱之為微積分第一基本定理。它是下面要將的牛頓-萊布尼茲公式

5、的基礎(chǔ)。3例題與解答。（比書上多補充一種類型）例求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：解：（1）。（2），。(3)令，則，。4練習(xí)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：請兩個學(xué)生上臺做演示。5延伸和推廣（為有興趣的學(xué)生提供）思考：當積分的上下限都是變量x的函數(shù)時，該如何求導(dǎo)？推廣：。五小結(jié)與作業(yè)小結(jié)：針對前面的課堂任務(wù)目標學(xué)生自查完成情況。作業(yè)：練習(xí)5.2第一題